5. Integrointi
5.1 Summat ja sigma-merkintä
5.1.4 Summakaavoja
Esimerkki. Aritmeettinen summa
$$
\sum_{i=1}^n i=1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}.
$$
Esimerkki. Neliöiden summa
$$
\sum_{i=1}^n i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
$$
Esimerkki. Geometrinen summa
$$
\sum_{i=1}^n a^i=\frac{a^{n+1}-a}{a-1}.
$$
Esimerkki. Testataan mainittuja kaavoja
\begin{eqnarray*}
\sum_{i=1}^{100} i&=&1+2+\ldots+100=\dfrac{100\cdot 101}{2}=5050\\
\sum_{i=1}^3 i^2&=&1+4+9=14=\dfrac{3\cdot 4\cdot 7}{6}\\
\sum_{i=1}^3 3^i&=&3+9+27=39=\dfrac{81-3}{3-1}=\dfrac{78}{2}.
\end{eqnarray*}
Katso kaavojen johdot videolta.
VIITTEET
[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.