5. Integrointi
5.2 Pinta-alat summien raja-arvona
5.2.2 Pinta-alaongelman ratkaisu
Pinta-alaongelman "ratkaisu". Tarkastellaan tilannetta \(f(x)\gt 0\). Jaetaan väli \([a,b]\) \(n\):ään osaväliin jakopisteillä
$$
a=x_0\lt x_1\lt x_2\lt \ldots\lt x_{n-1}\lt x_n=b.
$$
Merkitään
\(\Delta x_i=x_i-x_{i-1}\)= välin \([x_{i-1},x_i]\) pituus
$$
S_n=\sum_{i=1}^n \underbrace{f(x_i)\Delta x_i}_{\textrm{varjostetun suorakulmion pinta-ala}}
$$
Suorakulmioiden pinta-alojen summa approksimoi alueen \(R\) pinta-alaa. Kun \(n\) kasvaa, ja leveimmän osavälin pituus lähestyy nollaa, niin approksimaatio tarkentuu. Alueen \(R\) pinta-ala \(\textrm{Ala}(R)\) on siis
$$
\textrm{Ala}(R)=
\lim_{\substack{n\to\infty\\ \max \Delta x_i\to 0}}S_n
$$
VIITTEET
[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.