5. Integrointi
5.3 Määrätty integraali
5.3.1 Jaot ja Riemannin summat
Olkoon \(f\) jatkuva suljetulla välillä \([a,b]\). Jaetaan väli \([a,b]\) yhteensä \(n\):ään osaväliin jakopisteillä
$$
a=x_0\lt x_1 \lt x_2\lt \ldots\lt x_{n-1}\lt x_n=b.
$$
Joukko \(P=\{x_0,x_1,\ldots,x_n\}\) on
jako eli
ositus. Jaon
normi on
$$
||P||=\max_{1\leq i\leq n}\Delta x_i,\quad \textrm{missä}\quad \Delta x_i=x_i-x_{i-1}
$$
Koska \(f\) saa suurimman ja pienimmän arvon osavälillä \([x_{i-1},x_i]\), on olemassa kohdat \(l_i,u_i\in[x_{i-1},x_i]\) siten, että
$$f(l_i)\leq f(x)\leq f(u_i).$$
Olkoon \(A_i\) käyrän \(y=f(x)\) ja \(x\)-akselin väliin jäävä pinta-ala välillä \([x_{i-1},x_i]\). Saadaan
$$
f(l_i)\Delta x_i \leq A_i \leq f(u_i)\Delta x_i,\quad 1\leq i\leq n.
$$
Siis käyrän \(y=f(x)\) ja \(x\)-akselin väliin jäävä pinta-ala \(A\) välillä \([a,b]\) toteuttaa
$$
\sum_{i=1}^n
f(l_i)\Delta x_i
\leq A
\leq
\sum_{i=1}^n f(u_i)\Delta x_i.
$$
Määritelmä. Funktioon \(f\) ja jakoon \(P\) liittyvät
\(\bullet\)
Riemannin alasumma
$$L(f,P)=\sum_{i=1}^nf(l_i)\Delta x_i$$
\(\bullet\)
Riemannin yläsumma
$$U(f,P)=\sum_{i=1}^nf(u_i)\Delta x_i$$
VIITTEET
[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.