Huom. Jos \(P_1\subset P_2\), niin
$$
L(f,P_1)\leq L(f,P_2)\leq U(f,P_2)\leq U(f,P_1).
$$
Yleisesti: Jos \(P\) ja \(P'\) ovat mitkä hyvänsä kaksi välin \([a,b]\) jakoa, niin
$$
L(f,P)\leq U(f,P').
$$
On siis olemassa
ainakin yksi sellainen luku \(I\), että
$$
L(f,P)\leq I\leq U(f,P).
$$
Määritelmä: Jos on olemassa
täsmälleen yksi luku \(I\) siten, että
$$
L(f,P)\leq I \leq U(f,P)
$$
kaikilla välin \([a,b]\) jaoilla \(P\), niin
\(\bullet\) \(f\) on (Riemann)
integroituva välillä \([a,b]\)
\(\bullet\) Luku \(I\) on funktion \(f\)
määrätty integraali välillä \([a,b]\).
Merkitään
$$
I=\int_a^b f(x)dx.
$$
Voidaan todistaa:
Lause. Jos \(f\) on jatkuva välillä \([a,b]\), niin \(f\) on integroituva välillä \([a,b]\).
VIITTEET
[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.