5. Integrointi

5.3 Määrätty integraali

5.3.4 Yleinen Riemannin summa

Jos $f$ on jatkuva välillä $[a,b]$, niin $f$ on integroituva välillä $[a,b]$. Käyrän $y=f(x)$ ja $x$-akselin väliin jäävä pinta-ala välillä $[a,b]$ saadaan määrättynä integraalina $$ \int_a^b f(x)dx. $$ Tämä määrätty integraali määriteltiin ala- ja yläsummien avulla. Esimerkiksi alasumma $L(f,P)$ "koostuu suorakulmioista, joiden toinen pää on $x$-akselilla ja toinen pää on käyrän $y=f(x)$ alapuolella koskettaen sitä". Suorakulmiot voidaan asettaa hieman eri tavoilla ja silti jaon tihentyessä niiden pinta-ala lähestyy haluttua pinta-alaa.

Yleisesti: Välillä $[a,b]$ määritellyn funktion $f$ jakoon $P\{a=x_0,x_1,\ldots,x_n=b\}$ liittyvä Riemannin summa on $$ R_n=\sum_{i=1}^n f(c_i)\Delta x_i, $$ missä $c_i\in [x_{i-1},x_i]$ on valittu jollakin perusteella. Voidaan osoittaa, että mielivaltaisilla $c_i$ $$ R_n\to \int_a^b f(x)dx, $$ kun $n\to\infty$ ja $||P||\to 0$, kun $f$ on integroituva. Tässä pisteet $c_i$ ovat ``tägejä''.

VIITTEET

[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.