5. Integrointi

5.3 Määrätty integraali

5.3.5 Yleinen Riemannin summa, esimerkkejä

Pisteet $c_i\in [x_{i-1},x_i]$ eli tägit voidaan siis valita miten tahansa ja silti joka tapauksessa $$ R_n=\sum_{i=1}^n f(c_i)\Delta x_i\to \int_a^b f(x)dx, $$ kun $n\to\infty$ ja $||P||\to 0$, kun $f$ on integroituva välillä $[a,b]$. Valinnoilla $c_i=x_{i-1}$ ja $c_i=x_i$, saadaan vasen ja oikea päätepistemenetelmä $$ \sum_{i=1}^n f(x_{i-1})\Delta x_i, \quad\textrm{ja}\quad \sum_{i=1}^n f(x_i)\Delta x_i. $$ Jos valitaan $c_i=(x_{i-1}+x_i)/2$, niin saadaan keskipistemenetelmä ($M$ niinkuin ``mean'') $$ M_n(f)=\sum_{i=1}^nf\bigg(\frac{x_{i-1}+x_i}{2}\bigg). $$ Numeerisissa menetelmissä eri menetelmiä yhdistetään vielä keskenään. Nimittäin, jos päätepistemenetelmien antamista tuloksista otetaan keskiarvo, saadaan puolisuunnikasmenetelmä ($T$ niinkuin trapezoidi): $$ T_n(f)= \frac{1}{2}\bigg(\sum_{i=1}^n f(x_{i-1})\Delta x_i +\sum_{i=1}^n f(x_i)\Delta x_i\bigg) =\sum_{i=1}^n \frac{f(x_{i-1})+f(x_i)}{2} \Delta x_i. $$ Edelleen, jos keskipistemenetelmästä ja puolisuunnikasmenetelmästä otetaan painotettu keskiarvo, saadaan Simpsonin menetelmä: $$ S_n=\frac{2T_n+M_n}{3}. $$

VIITTEET

[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.