5. Integrointi
5.4 Määrätyn integraalin ominaisuuksia
5.4.4 Integraalilaskennan väliarvolause, todistus
Lause. (Integraalilaskennan väliarvolause) Jos \(f\) on jatkuva välillä \([a,b]\), niin on olemassa sellainen kohta \(c\in[a,b]\), että
$$
\int_a^bf(x)dx=(b-a)f(c).
$$
Todistus. Suljetulla välillä jatkuva funktio saa \(SA\):n ja \(PA\):n, joten on olemassa kohdat \(l,u\in[a,b]\) siten, että
$$
f(l)\leq f(x)\leq f(u)
$$
kaikilla \(x\in [a,b]\). Merkitään \(m=f(l)\) ja \(M=f(u)\). Olkoon \(P=\{x_0=a,x_1=b\}\) välin \([a,b]\) jako yhteen osaväliin. Tällöin
$$
L(f,P)\leq\int_a^bf(x)dx\leq U(f,P).
$$
Siis
$$
m(b-a)\leq\int_a^bf(x)dx\leq M(b-a).
$$
Jaetaan \(b-a\):lla, jolloin saadaan
$$
m\leq \underbrace{\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx}_{\textrm{luku}}\leq M.
$$
Jatkuvien funktioiden väliarvolauseen nojalla on olemassa sellainen kohta \(c\in[a,b]\), että
$$
f(c)=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx
$$
eli
$$
(b-a)f(c)=\int_a^b f(x)dx.
$$
\(\Box\)
VIITTEET
[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.