5. Integrointi
5.5 Analyysin peruslause
5.5.2 Analyysin peruslause, todistus
Todistus. 1) Derivaatan määritelmän avulla:
\begin{equation*}
\begin{split}
\lim_{h\to 0^+}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}
&=\lim_{h\to 0^+}\frac{1}{h}
\bigg(\int_a^{x+h}f(t)dt-\int_a^xf(t)dt\bigg)\\
&=\lim_{h\to 0^+}\frac{1}{h}\bigg(\int_x^af(t)dt+\int_a^{x+h}f(t)dt\bigg)\\
&=\lim_{h\to 0^+}\frac{1}{h}\int_x^{x+h}f(t)dt\\
&\stackrel{(\ast)}{=}
\lim_{h\to 0^+}\frac{1}{h}f(c)(x+h-x)\\
&=\lim_{h\to 0^+}f(c),
\end{split}
\end{equation*}
jollakin \(c\in [x,x+h]\). Kohdassa \((\ast)\) käytettiin integraalilaskennan väliarvolausetta. Siis
$$
x\leq c\leq x+h.
$$
Kun \(h\to 0^+\), niin kuristusperiaatteen nojalla \(c\to x\). Siis
$$
\lim_{h\to 0^+}f(c)=\lim_{c\to x^+}f(c)=f(x),
$$
koska \(f\) on jatkuva pisteessä \(x\). Vastaavasti
$$
\lim_{h\to 0^-}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=f(x).
$$
Siis
$$
\lim_{h\to 0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}
$$
on olemassa, eli \(F\) on derivoituva, ja \(F'(x)=f(x)\).
2) Jos \(G'(x)=f(x)\), niin \(F(x)=G(x)+C\). Siis
$$
\int_a^xf(t)dt=F(x)=G(x)+C.
$$
Kun \(x=a\), niin
$$
G(a)+C=\int_a^af(t)dt=0,
$$
joten \(C=-G(a)\). Valitaan \(x=b\), jolloin
$$
\int_a^bf(t)dt=G(b)+C=G(b)-G(a).
$$
\(\Box\).
VIITTEET
[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.