a)\(\displaystyle F(x)=\int_x^3e^{-t^2}dt \)
b)\( \displaystyle G(x)=x^2\int_{-4}^{5x}e^{-t^2}dt \)
c)\( H(x)=\int_{x^2}^{x^3}e^{-t^2}dt \)
Ratkaisu.
a)$$
\frac{d}{dx}F(x)
=\frac{d}{dx}\int_x^3e^{-t^2}dt
=\frac{d}{dx}\int_3^xe^{-t^2}dt
=-e^{-x^2}.
$$
b)
\begin{equation*}
\begin{split}
\frac{d}{dx}G(x)
&
\stackrel{(\ast)}{=}
2x\int_{-4}^{5x}e^{-t^2}dt
+x^2\frac{d}{dx}\int_{-4}^{5x}e^{-t^2}dt\\
&=2x\int_{-4}^{5x}e^{-t^2}dt
+5x^2e^{-25x^2}
\end{split}
\end{equation*}
Tätä ei voi sieventää enempää, koska funktion \(e^{-t^2}\) antiderivaattaa ei voi lausua alkeisfunktioiden avulla.
(Koska \(e^{-t^2}\) on jatkuva funktio, antiderivaatta on olemassa. Sitä ei vain osata kirjoittaa alkeisfunktioiden avulla.)
c) Katso ratkaisu videolta.
VIITTEET
[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.