5. Integrointi

5.5 Analyysin peruslause

5.5.6 Analyysin peruslause, esimerkkejä

a)$\displaystyle F(x)=\int_x^3e^{-t^2}dt$

b)$\displaystyle G(x)=x^2\int_{-4}^{5x}e^{-t^2}dt$

c)$H(x)=\int_{x^2}^{x^3}e^{-t^2}dt$

Ratkaisu. a) $$\frac{d}{dx}F(x) =\frac{d}{dx}\int_x^3e^{-t^2}dt =\frac{d}{dx}\int_3^xe^{-t^2}dt =-e^{-x^2}.$$ b) $$\begin{equation*} \begin{split} \frac{d}{dx}G(x) & \stackrel{(\ast)}{=} 2x\int_{-4}^{5x}e^{-t^2}dt +x^2\frac{d}{dx}\int_{-4}^{5x}e^{-t^2}dt\\ &=2x\int_{-4}^{5x}e^{-t^2}dt +5x^2e^{-25x^2} \end{split} \end{equation*}$$ Tätä ei voi sieventää enempää, koska funktion $e^{-t^2}$ antiderivaattaa ei voi lausua alkeisfunktioiden avulla. (Koska $e^{-t^2}$ on jatkuva funktio, antiderivaatta on olemassa. Sitä ei vain osata kirjoittaa alkeisfunktioiden avulla.)

c) Katso ratkaisu videolta.

VIITTEET

[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.