5. Integrointi

5.6 Integrointi sijoittamalla

5.6.1 Integrointi sijoittamalla

Ketjusäännön mukaan $$ \frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))g'(x). $$ Siis $$ \int f'(g(x))g'(x)dx=f(g(x))+C. $$
Sijoitusmenettely. Sijoitetaan \(u=g(x)\), jolloin \(du=g'(x)dx\). Nyt $$ \int f'(g(x))g'(x)dx =\int f'(u)du=f(u)+C \stackrel{(\ast)}{=}f(g(x)+C. $$ Askel \((\ast)\) on takaisinsijoitus.
Esimerkki.(a) \begin{equation*} \begin{split} \int\frac{x}{x^2+1}dx &=\int\frac{1}{x^2+1}xdx =\frac{1}{2}\int\frac{1}{x^2+1}2xdx\\ &\stackrel{(*)}{=}\frac{1}{2}\int\frac{1}{u}du =\frac{1}{2}\ln|u|+C =\frac{1}{2}\ln|x^2+1|+C, \end{split} \end{equation*} missä kohdassa \((*)\) sijoitettiin \(u=x^2+1\), \(du=2xdx\). (b) $$ \int x\sin(x^2)dx $$ (c) $$ \int \frac{\sin(3\ln x)}{x}dx $$ Katso kohdat (b) ja (c) videolta.

VIITTEET

[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.