5. Integrointi
5.6 Integrointi sijoittamalla
5.6.1 Integrointi sijoittamalla
Ketjusäännön mukaan
$$
\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))g'(x).
$$
Siis
$$
\int f'(g(x))g'(x)dx=f(g(x))+C.
$$
Sijoitusmenettely. Sijoitetaan \(u=g(x)\), jolloin \(du=g'(x)dx\). Nyt
$$
\int f'(g(x))g'(x)dx
=\int f'(u)du=f(u)+C
\stackrel{(\ast)}{=}f(g(x)+C.
$$
Askel \((\ast)\) on
takaisinsijoitus.
Esimerkki.(a)
\begin{equation*}
\begin{split}
\int\frac{x}{x^2+1}dx
&=\int\frac{1}{x^2+1}xdx
=\frac{1}{2}\int\frac{1}{x^2+1}2xdx\\
&\stackrel{(*)}{=}\frac{1}{2}\int\frac{1}{u}du
=\frac{1}{2}\ln|u|+C
=\frac{1}{2}\ln|x^2+1|+C,
\end{split}
\end{equation*}
missä kohdassa \((*)\) sijoitettiin \(u=x^2+1\), \(du=2xdx\).
(b)
$$
\int x\sin(x^2)dx
$$
(c)
$$
\int \frac{\sin(3\ln x)}{x}dx
$$
Katso kohdat (b) ja (c) videolta.
VIITTEET
[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.