5. Integrointi

5.6 Integrointi sijoittamalla

5.6.2 Kaavojen johtamista


Esimerkki. Muistetaan $$ \int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C. $$ Todista: $$ \int g(x)^ng'(x)dx=\frac{g(x)^{n+1}}{n+1}+C. $$
Ratkaisu. $$ \int g(x)^ng'(x)dx =\int u^ndu=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C =\frac{g(x)^{n+1}}{n+1}+C. $$
Toinen tapa. $$ \frac{d}{dx}\frac{g(x)^{n+1}}{n+1} =\frac{1}{n+1}\frac{d}{dx}g(x)^{n+1} \stackrel{\textrm{(ks)}}{=}\frac{1}{n+1}(n+1) g(x)^ng'(x) =g(x)^ng'(x). $$ Kohdassa (ks) käytettiin ketjusääntöä.

VIITTEET

[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.