5. Integrointi
5.6 Integrointi sijoittamalla
5.6.2 Kaavojen johtamista
Esimerkki. Muistetaan
$$
\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
$$
Todista:
$$
\int g(x)^ng'(x)dx=\frac{g(x)^{n+1}}{n+1}+C.
$$
Ratkaisu.
$$
\int g(x)^ng'(x)dx
=\int u^ndu=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C
=\frac{g(x)^{n+1}}{n+1}+C.
$$
Toinen tapa.
$$
\frac{d}{dx}\frac{g(x)^{n+1}}{n+1}
=\frac{1}{n+1}\frac{d}{dx}g(x)^{n+1}
\stackrel{\textrm{(ks)}}{=}\frac{1}{n+1}(n+1)
g(x)^ng'(x)
=g(x)^ng'(x).
$$
Kohdassa (ks) käytettiin ketjusääntöä.
VIITTEET
[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.