5. Integrointi
5.6 Integrointi sijoittamalla
5.6.3 Määrätyt integraalit
Myös määrättyjä integraaleja voidaan laskea sijoitusmenettelyllä.
Usein takaisinsijoitus tehdään implisiittisesti ''muuttamalla integroimisrajat''.
Esimerkki.
$$
\int_0^{\ln(2)}e^x\sqrt{1+e^{x}}dx
$$
Sijoitetaan tähän
$$
u=1+e^{x}=g(x),\quad du=g'(x)=e^xdx.
$$
Rajoiksi saadaan
$$
g(0)=2,\quad g(\ln 2)=1+e^{\ln 2}=1+2=3.
$$
Saadaan
\begin{equation*}
\begin{split}
\int_0^{\ln(2)}e^x\sqrt{1+e^{x}}dx
&=\int_2^3\sqrt{u}du=\int_2^3u^{1/2}du
=\bigg[\frac{2}{3}u^{3/2}\bigg]_2^3
=\frac{2}{3}(3^{3/2}-2^{3/2}).
\end{split}
\end{equation*}
Toinen tapa.
\begin{equation*}
\begin{split}
\int_0^{\ln(3)}e^x\sqrt{1+e^{x}}dx
&=\int_{x=0}^{x=\ln(2)}u^{1/2}du
=\bigg[\frac{2}{3}u^{3/2}\bigg]_{x=0}^{x=\ln(2)}\\
&=\bigg[\frac{2}{3}(1+e^x)^{3/2}\bigg]_{x=0}^{x=\ln(2)}
=\frac{2}{3}(3^{3/2}-2^{3/2}).
\end{split}
\end{equation*}
VIITTEET
[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.