5. Integrointi

5.6 Integrointi sijoittamalla

5.6.3 Määrätyt integraalit

Myös määrättyjä integraaleja voidaan laskea sijoitusmenettelyllä. Usein takaisinsijoitus tehdään implisiittisesti ''muuttamalla integroimisrajat''.
Esimerkki. $$ \int_0^{\ln(2)}e^x\sqrt{1+e^{x}}dx $$ Sijoitetaan tähän $$ u=1+e^{x}=g(x),\quad du=g'(x)=e^xdx. $$ Rajoiksi saadaan $$ g(0)=2,\quad g(\ln 2)=1+e^{\ln 2}=1+2=3. $$ Saadaan \begin{equation*} \begin{split} \int_0^{\ln(2)}e^x\sqrt{1+e^{x}}dx &=\int_2^3\sqrt{u}du=\int_2^3u^{1/2}du =\bigg[\frac{2}{3}u^{3/2}\bigg]_2^3 =\frac{2}{3}(3^{3/2}-2^{3/2}). \end{split} \end{equation*}
Toinen tapa. \begin{equation*} \begin{split} \int_0^{\ln(3)}e^x\sqrt{1+e^{x}}dx &=\int_{x=0}^{x=\ln(2)}u^{1/2}du =\bigg[\frac{2}{3}u^{3/2}\bigg]_{x=0}^{x=\ln(2)}\\ &=\bigg[\frac{2}{3}(1+e^x)^{3/2}\bigg]_{x=0}^{x=\ln(2)} =\frac{2}{3}(3^{3/2}-2^{3/2}). \end{split} \end{equation*}

VIITTEET

[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.