5. Integrointi
5.6 Integrointi sijoittamalla
5.6.4 Trigonometrisia integraaleja
Esimerkki.
$$
\int_0^{\pi/2}\sin^2(x)\cos(x)dx.
$$
Sijoitetaan
$$
u=\sin(x)=g(x),\quad du=g'(x)dx=\cos(x)dx.
$$
Rajoiksi saadaan
$$
x=0\to u=g(0)=\sin(0)=0,\quad x=\frac{\pi}{2}\to u=g(\pi/2)=\sin(\pi/2)=1.
$$
Siis
$$
\int_0^{\pi/2}\sin^2(x)\cos(x)dx
=\int_0^1u^2du=\bigg |_0^1\frac{u^3}{3}=\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}.
$$
Esimerkki.
\begin{equation*}
\begin{split}
\int \tan(x)dx
&=\int\frac{\sin(x)}{\cos(x)}dx
=-\int\frac{1}{\cos(x)}(-\sin(x))dx\\
&=-\int\frac{1}{u}du
=-\ln|u|+C
=-\ln|\cos(x)|+C.
\end{split}
\end{equation*}
VIITTEET
[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.