5. Integrointi

5.6 Integrointi sijoittamalla

5.6.4 Trigonometrisia integraaleja


Esimerkki. $$ \int_0^{\pi/2}\sin^2(x)\cos(x)dx. $$ Sijoitetaan $$ u=\sin(x)=g(x),\quad du=g'(x)dx=\cos(x)dx. $$ Rajoiksi saadaan $$ x=0\to u=g(0)=\sin(0)=0,\quad x=\frac{\pi}{2}\to u=g(\pi/2)=\sin(\pi/2)=1. $$ Siis $$ \int_0^{\pi/2}\sin^2(x)\cos(x)dx =\int_0^1u^2du=\bigg |_0^1\frac{u^3}{3}=\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}. $$
Esimerkki. \begin{equation*} \begin{split} \int \tan(x)dx &=\int\frac{\sin(x)}{\cos(x)}dx =-\int\frac{1}{\cos(x)}(-\sin(x))dx\\ &=-\int\frac{1}{u}du =-\ln|u|+C =-\ln|\cos(x)|+C. \end{split} \end{equation*}

VIITTEET

[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.