Processing math: 100%

5. Integrointi

5.6 Integrointi sijoittamalla

5.6.5 Sinien ja kosinien tulot

Geometrialla voidaan osoittaa

$\sin(x+y)=\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y).$ Koska

$\cos(-y)=\cos(y)$ ja

$\sin(-y)=-\sin(y)$ , niin

$\sin(x-y)=\sin(x)\cos(y)-\cos(x)\sin(y).$ Laskemalla kaavat puolittain yhteen saadaan

$\sin(x+y)+\sin(x-y)=2\sin(x)\cos(y)$ eli

$\begin{equation} \sin(x)\cos(y)=\frac{\sin(x-y)}{2}+\frac{\sin(x+y)}{2}. \end{equation}$ Tästä yhtälöstä voidaan johtaa kaavat kosinien tulolle ja sinin tulolle esimerkiksi derivoimalla. Derivoimalla muuttujan

$x$ suhteen saadaan

$\begin{equation} \cos(x)\cos(y)=\frac{\cos(x-y)}{2}+\frac{\cos(x+y)}{2}. \end{equation}$ Toisaalta, derivoimalla muuttujan

$y$ suhteen, ja kertomalla puolittain luvulla

$-1$ , saadaan

$\begin{equation} \sin(x)\sin(y)=\frac{\cos(x-y)}{2}-\frac{\cos(x+y)}{2} \end{equation}$

VIITTEET

[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.