5. Integrointi

5.6 Integrointi sijoittamalla

5.6.5 Sinien ja kosinien tulot

Geometrialla voidaan osoittaa $$ \sin(x+y)=\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y). $$ Koska \(\cos(-y)=\cos(y)\) ja \(\sin(-y)=-\sin(y)\), niin $$ \sin(x-y)=\sin(x)\cos(y)-\cos(x)\sin(y). $$ Laskemalla kaavat puolittain yhteen saadaan $$ \sin(x+y)+\sin(x-y)=2\sin(x)\cos(y) $$ eli \begin{equation} \sin(x)\cos(y)=\frac{\sin(x-y)}{2}+\frac{\sin(x+y)}{2}. \end{equation} Tästä yhtälöstä voidaan johtaa kaavat kosinien tulolle ja sinin tulolle esimerkiksi derivoimalla. Derivoimalla muuttujan \(x\) suhteen saadaan \begin{equation} \cos(x)\cos(y)=\frac{\cos(x-y)}{2}+\frac{\cos(x+y)}{2}. \end{equation} Toisaalta, derivoimalla muuttujan \(y\) suhteen, ja kertomalla puolittain luvulla \(-1\), saadaan \begin{equation} \sin(x)\sin(y)=\frac{\cos(x-y)}{2}-\frac{\cos(x+y)}{2} \end{equation}

VIITTEET

[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.