5. Integrointi
5.6 Integrointi sijoittamalla
5.6.5 Sinien ja kosinien tulot
Geometrialla voidaan osoittaa
$$
\sin(x+y)=\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y).
$$
Koska \(\cos(-y)=\cos(y)\) ja \(\sin(-y)=-\sin(y)\), niin
$$
\sin(x-y)=\sin(x)\cos(y)-\cos(x)\sin(y).
$$
Laskemalla kaavat puolittain yhteen saadaan
$$
\sin(x+y)+\sin(x-y)=2\sin(x)\cos(y)
$$
eli
\begin{equation}
\sin(x)\cos(y)=\frac{\sin(x-y)}{2}+\frac{\sin(x+y)}{2}.
\end{equation}
Tästä yhtälöstä voidaan johtaa kaavat kosinien tulolle ja sinin tulolle esimerkiksi derivoimalla. Derivoimalla muuttujan \(x\) suhteen saadaan
\begin{equation}
\cos(x)\cos(y)=\frac{\cos(x-y)}{2}+\frac{\cos(x+y)}{2}.
\end{equation}
Toisaalta, derivoimalla muuttujan \(y\) suhteen, ja kertomalla puolittain luvulla \(-1\), saadaan
\begin{equation}
\sin(x)\sin(y)=\frac{\cos(x-y)}{2}-\frac{\cos(x+y)}{2}
\end{equation}
VIITTEET
[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.