5. Integrointi
5.6 Integrointi sijoittamalla
5.6.6 Sinien ja kosinien tulot
Kaavat (2) ja (3) antavat
\begin{equation*}
\begin{split}
\cos^2(x)&=\frac{1}{2}(1+\cos(2x))\\
\sin^2(x)&=\frac{1}{2}(1-\cos(2x))
\end{split}
\end{equation*}
Huomataan, että kaavojen perusteella \(\cos^2(x)+\sin^2(x)=1\), niin kuin pitääkin. Samoin esimerkiksi \(\cos^2(0)=1\) ja \(\sin^2(0)=0\).
Esimerkki.
\begin{equation*}
\begin{split}
\int\cos^2(x)dx
&=\int\frac{1}{2}(1+\cos(2x))dx
=\frac{1}{2}\int dx+\frac{1}{4}\int 2\cos(2x)dx\\
&=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\sin(2x)+C.
\end{split}
\end{equation*}
Esimerkki.
$$
\int\sin(x)\cos(x)dx
=-\int\cos(x)(-\sin(x))dx
=-\int udu
=-\frac{u^2}{2}+C
=-\frac{1}{2}\cos^2(x)+C,
$$
missä sijoitettin \(u=\cos(x)\) ja \(du=-\sin(x)dx\).
Tapa II.
\begin{equation*}
\begin{split}
\int\sin(x)\cos(x)dx
&=\int udu=\frac{u^2}{2}+C
=\frac{1}{2}\sin^2(x)+C
=\frac{1}{2}(1-\cos^2(x))+C\\
&=-\frac{1}{2}\cos^2(x)+\underbrace{\frac{1}{2}+C}{C'},
\end{split}
\end{equation*}
missä sijoitettiin \(u=\sin(x)\) ja \(du=\cos(x)dx\).
VIITTEET
[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.