5. Integrointi

5.6 Integrointi sijoittamalla

5.6.6 Sinien ja kosinien tulot

Kaavat (2) ja (3) antavat \begin{equation*} \begin{split} \cos^2(x)&=\frac{1}{2}(1+\cos(2x))\\ \sin^2(x)&=\frac{1}{2}(1-\cos(2x)) \end{split} \end{equation*} Huomataan, että kaavojen perusteella \(\cos^2(x)+\sin^2(x)=1\), niin kuin pitääkin. Samoin esimerkiksi \(\cos^2(0)=1\) ja \(\sin^2(0)=0\).
Esimerkki. \begin{equation*} \begin{split} \int\cos^2(x)dx &=\int\frac{1}{2}(1+\cos(2x))dx =\frac{1}{2}\int dx+\frac{1}{4}\int 2\cos(2x)dx\\ &=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\sin(2x)+C. \end{split} \end{equation*}
Esimerkki. $$ \int\sin(x)\cos(x)dx =-\int\cos(x)(-\sin(x))dx =-\int udu =-\frac{u^2}{2}+C =-\frac{1}{2}\cos^2(x)+C, $$ missä sijoitettin \(u=\cos(x)\) ja \(du=-\sin(x)dx\).
Tapa II. \begin{equation*} \begin{split} \int\sin(x)\cos(x)dx &=\int udu=\frac{u^2}{2}+C =\frac{1}{2}\sin^2(x)+C =\frac{1}{2}(1-\cos^2(x))+C\\ &=-\frac{1}{2}\cos^2(x)+\underbrace{\frac{1}{2}+C}{C'}, \end{split} \end{equation*} missä sijoitettiin \(u=\sin(x)\) ja \(du=\cos(x)dx\).

VIITTEET

[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.