5. Integrointi

5.7 Tasoalueen pinta-ala

5.7.1 Tasoalueen pinta-ala

Halutaan laskea $$ \int_a^b|f(x)|dx. $$ Käytännössä \(f\) on paloiteltava osiin, joissa \(f(x)\geq 0\) tai \(f(x)\lt 0\). Kahden funktion kuvaajien välisen alueen pinta-ala saadaan tapauksessa \(0\leq f(x)\leq g(x)\) kaavalla
$$ A=\int_a^bg(x)dx-\int_a^bf(x)dx =\int_a^b(g(x)-f(x))dx. $$

Yleisesti: $$ A=\int_a^b|g(x)-f(x)|dx. $$
Esimerkki. Määritä käyrien \(y=\sin(x)\) ja \(y=\cos(x)\) rajoittaman alueen pinta-ala välillä \([0,2\pi]\).
Ratkaisu. Leikkauspisteet: $$ \sin(x)=\cos(x) $$ jos ja vain jos \(x=\frac{\pi}{4}\) tai \(x=\frac{5\pi}{4}\). Pinta-ala $$ A=\int_0^{2\pi}|\sin(x)-\cos(x)|dx =2\int_{\pi/4}^{\frac{5\pi}{2}}\sin(x)-\cos(x) =2|_{\pi/4}^{5\pi/4}-\cos(x)-\sin(x) =2((1/sqrt{2}+1/\sqrt{2}) - (-1/sqrt{2}-1/\sqrt{2}) =\frac{8}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}. $$

VIITTEET

[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.