6. Integrointitekniikoita
6.1 Osittaisintegrointi
6.1.1. Osittaisintegrointi
Tulon derivointinsääntö:
$$
\frac{d}{dx} u(x)v(x)
=(u(x)v(x))'
=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
$$
Siis
$$
u(x)v'(x)=(u(x)v(x))'-u'(x)v(x).
$$
Integroimalla saadaan
$$
\int u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)dx.
$$
Lyhyemmin:
$$
\int uv'=uv-\int u'v.
$$
Tätä tekniikkaa nimitetään
osittaisintegroinniksi.
Esimerkki.
Halutaan laskea
$$
\int xe^xdx.
$$
Merkitään \(u=x\) ja \(v'=e^x\), jolloin \(u'=1\) ja \(v=e^x\). Saadaan
\begin{equation*}
\begin{split}
\int xe^{x}dx
=xe^x-\int 1\cdot e^xdx
=xe^x-e^x+C.
\end{split}
\end{equation*}
VIITTEET
[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.