6. Integrointitekniikoita

6.1 Osittaisintegrointi

6.1.1. Osittaisintegrointi

Tulon derivointinsääntö: $$ \frac{d}{dx} u(x)v(x) =(u(x)v(x))' =u'(x)v(x)+u(x)v'(x). $$ Siis $$ u(x)v'(x)=(u(x)v(x))'-u'(x)v(x). $$ Integroimalla saadaan $$ \int u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)dx. $$
Lyhyemmin:
$$ \int uv'=uv-\int u'v. $$
Tätä tekniikkaa nimitetään osittaisintegroinniksi.
Esimerkki. Halutaan laskea $$ \int xe^xdx. $$ Merkitään \(u=x\) ja \(v'=e^x\), jolloin \(u'=1\) ja \(v=e^x\). Saadaan \begin{equation*} \begin{split} \int xe^{x}dx =xe^x-\int 1\cdot e^xdx =xe^x-e^x+C. \end{split} \end{equation*}

VIITTEET

[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.