6. Integrointitekniikoita

6.1 Osittaisintegrointi

6.1.2. Osittaisintegrointi, esimerkkejä


Esimerkki. Halutaan laskea $$ \int x\cos(x)dx $$ Merkitään \(u=x\) ja \(v'=\cos(x)\), jolloin \(u'=1\) ja \(v=\sin(x)\). Saadaan \begin{equation*} \begin{split} \int x\cos(x)dx =x\sin(x)-\int 1\cdot \cos(x)dx =x\sin(x)+\cos(x)+C. \end{split} \end{equation*}
Esimerkki. Halutaan laskea $$ \int\underbrace{\sin(x)}{u} \underbrace{\cos(x)}{v'} dx = \underbrace{\sin(x)}{u} \underbrace{\sin(x)}{v} -\int\int\underbrace{\cos(x)}{u'} \int\underbrace{\sin(x)}{v} dx. $$ Merkitään \(u=x\) ja \(v'=\cos(x)\), jolloin \(u'=1\) ja \(v=\sin(x)\). Saadaan \begin{equation*} \begin{split} \int x\cos(x)dx =x\sin(x)-\int 1\cdot \cos(x)dx =x\sin(x)+\cos(x)+C. \end{split} \end{equation*}

VIITTEET

[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.