6. Integrointitekniikoita
6.1 Osittaisintegrointi
6.1.2. Osittaisintegrointi, esimerkkejä
Esimerkki.
Halutaan laskea
$$
\int x\cos(x)dx
$$
Merkitään \(u=x\) ja \(v'=\cos(x)\), jolloin \(u'=1\) ja \(v=\sin(x)\). Saadaan
\begin{equation*}
\begin{split}
\int x\cos(x)dx
=x\sin(x)-\int 1\cdot \cos(x)dx
=x\sin(x)+\cos(x)+C.
\end{split}
\end{equation*}
Esimerkki.
Halutaan laskea
$$
\int\underbrace{\sin(x)}{u}
\underbrace{\cos(x)}{v'}
dx
=
\underbrace{\sin(x)}{u}
\underbrace{\sin(x)}{v}
-\int\int\underbrace{\cos(x)}{u'}
\int\underbrace{\sin(x)}{v}
dx.
$$
Merkitään \(u=x\) ja \(v'=\cos(x)\), jolloin \(u'=1\) ja \(v=\sin(x)\). Saadaan
\begin{equation*}
\begin{split}
\int x\cos(x)dx
=x\sin(x)-\int 1\cdot \cos(x)dx
=x\sin(x)+\cos(x)+C.
\end{split}
\end{equation*}
VIITTEET
[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.