6. Integrointitekniikoita
6.2 Rationaalifunktion integroiminen
6.2.1 Integroinnin vaiheet
Rationaalifunktio on muotoa
$$
R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)},
$$
missä \(P\) ja \(Q\) ovat polynomeja.
R1-jaetaan) (helppo) Jos \(\deg(P)\geq \deg(Q)\), niin suoritetaan polynomien jakolasku (jakoyhtälöllä tai jakokulmassa) ja saadaan
$$
R(x)=P_1(x)+\frac{P_2(x)}{Q(x)},
$$
missä \(P_1\) ja \(P_2\) ovat polynomeja ja \(\deg(P_1)\lt \deg(Q)\).
R2-hajotetaan) (joskus haastava) Etsitään polynomin \(Q\) nollakohdat ja jaetaan
$$
\frac{P_2(x)}{Q(x)}
$$
osiin (tehdään
osamurtokehitelmä) esimerkiksi
$$
\frac{1}{x^2-x}=\underbrace{\frac{1}{x(x-1)}}_{\textrm{``murtolauseke''}}=\underbrace{\frac{1}{x-1}+(-1)\frac{1}{x}}_{\textrm{``2kpl osamurtoja''}}
$$
R3-integroidaan) (helppo) Käytetään joka osamurtoon erikseen kaavaa
$$
\int\frac{g'(x)}{g(x)}dx =\ln|g(x)|+C,
$$
esimerkiksi
$$
\int \frac{1}{x-1}=\ln|x-1|+C.
$$
VIITTEET
[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.