6. Integrointitekniikoita
6.2 Rationaalifunktion integroiminen
6.2.2 jakoyhtälö, arkustangentti
Esimerkki.
Laske
$$
\int\frac{x^3+3x^2}{x^2+1}dx.
$$
Ratkaisu.
R1-jaetaan) Integrandi on muotoa \(P/Q\), jossa ei päde \(\deg(P)\lt \deg(Q)\). Johdetaan jakoyhtälö
$$
x^3+3x^2=x^2(x+3)=\underbrace{(x^2+1)}_{\textrm{jakaja}}(x+3)-(x+3),
$$
jolloin osataan jakaa
$$
\frac{x^3+3x^2}{x^2+1}
=x+3-\frac{x+3}{x^2+1}.
$$
R2-hajotetaan) Halutaan termejä \(g'(x)/g(x)\). Muokataan lauseke muotoon
$$
x+3-\frac{x+3}{x^2+1}
=x+3-\frac{1}{2}\frac{2x}{x^2+1}-3\frac{1}{1+x^2},
$$
jolloin kaikki termit osataan integroida. Nyt tulikin yhdeksi termiksi
$$
(\arctan(x))'=\frac{1}{1+x^2}.
$$
R3-integroidaan) Integroidaan
\begin{equation*}
\begin{split}
\int\frac{x^3+3x^2}{x^2+1}dx
&=\int x+3 dx
-\frac{1}{2}\int\frac{2x}{x^2+1}dx
-3\int\frac{1}{x^2+1}dx\\
&=\frac{x^2}{2}+3x-\frac{1}{2}\ln|x^2+1|-3\arctan(x)+C.
\end{split}
\end{equation*}
VIITTEET
[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.