Processing math: 100%

6. Integrointitekniikoita

6.2 Rationaalifunktion integroiminen

6.2.2 jakoyhtälö, arkustangentti


Esimerkki. Laske x3+3x2x2+1dx.
Ratkaisu.
R1-jaetaan) Integrandi on muotoa P/Q, jossa ei päde deg(P)<deg(Q). Johdetaan jakoyhtälö x3+3x2=x2(x+3)=(x2+1)jakaja(x+3)(x+3), jolloin osataan jakaa x3+3x2x2+1=x+3x+3x2+1.
R2-hajotetaan) Halutaan termejä g(x)/g(x). Muokataan lauseke muotoon x+3x+3x2+1=x+3122xx2+1311+x2, jolloin kaikki termit osataan integroida. Nyt tulikin yhdeksi termiksi (arctan(x))=11+x2.
R3-integroidaan) Integroidaan x3+3x2x2+1dx=x+3dx122xx2+1dx31x2+1dx=x22+3x12ln|x2+1|3arctan(x)+C.

VIITTEET

[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.