Processing math: 100%

6. Integrointitekniikoita

6.2 Rationaalifunktion integroiminen

6.2.2 jakoyhtälö, arkustangentti

Esimerkki. Laske

$\int\frac{x^3+3x^2}{x^2+1}dx.$
Ratkaisu.
R1-jaetaan) Integrandi on muotoa

$P/Q$ , jossa ei päde

$\deg(P)\lt \deg(Q)$ . Johdetaan jakoyhtälö

$x^3+3x^2=x^2(x+3)=\underbrace{(x^2+1)}_{\textrm{jakaja}}(x+3)-(x+3),$ jolloin osataan jakaa

$\frac{x^3+3x^2}{x^2+1} =x+3-\frac{x+3}{x^2+1}.$
R2-hajotetaan) Halutaan termejä

$g'(x)/g(x)$ . Muokataan lauseke muotoon

$x+3-\frac{x+3}{x^2+1} =x+3-\frac{1}{2}\frac{2x}{x^2+1}-3\frac{1}{1+x^2},$ jolloin kaikki termit osataan integroida. Nyt tulikin yhdeksi termiksi

$(\arctan(x))'=\frac{1}{1+x^2}.$
R3-integroidaan) Integroidaan

$\begin{equation*} \begin{split} \int\frac{x^3+3x^2}{x^2+1}dx &=\int x+3 dx -\frac{1}{2}\int\frac{2x}{x^2+1}dx -3\int\frac{1}{x^2+1}dx\\ &=\frac{x^2}{2}+3x-\frac{1}{2}\ln|x^2+1|-3\arctan(x)+C. \end{split} \end{equation*}$

VIITTEET

[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.