Processing math: 100%
6. Integrointitekniikoita
6.2 Rationaalifunktion integroiminen
6.2.2 jakoyhtälö, arkustangentti
Esimerkki.
Laske
∫x3+3x2x2+1dx.
Ratkaisu.
R1-jaetaan) Integrandi on muotoa P/Q, jossa ei päde deg(P)<deg(Q). Johdetaan jakoyhtälö
x3+3x2=x2(x+3)=(x2+1)⏟jakaja(x+3)−(x+3),
jolloin osataan jakaa
x3+3x2x2+1=x+3−x+3x2+1.
R2-hajotetaan) Halutaan termejä g′(x)/g(x). Muokataan lauseke muotoon
x+3−x+3x2+1=x+3−122xx2+1−311+x2,
jolloin kaikki termit osataan integroida. Nyt tulikin yhdeksi termiksi
(arctan(x))′=11+x2.
R3-integroidaan) Integroidaan
∫x3+3x2x2+1dx=∫x+3dx−12∫2xx2+1dx−3∫1x2+1dx=x22+3x−12ln|x2+1|−3arctan(x)+C.
VIITTEET
[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.