6. Integrointitekniikoita

6.2 Rationaalifunktion integroiminen

6.2.2 jakoyhtälö, arkustangentti


Esimerkki. Laske $$ \int\frac{x^3+3x^2}{x^2+1}dx. $$
Ratkaisu.
R1-jaetaan) Integrandi on muotoa \(P/Q\), jossa ei päde \(\deg(P)\lt \deg(Q)\). Johdetaan jakoyhtälö $$ x^3+3x^2=x^2(x+3)=\underbrace{(x^2+1)}_{\textrm{jakaja}}(x+3)-(x+3), $$ jolloin osataan jakaa $$ \frac{x^3+3x^2}{x^2+1} =x+3-\frac{x+3}{x^2+1}. $$
R2-hajotetaan) Halutaan termejä \(g'(x)/g(x)\). Muokataan lauseke muotoon $$ x+3-\frac{x+3}{x^2+1} =x+3-\frac{1}{2}\frac{2x}{x^2+1}-3\frac{1}{1+x^2}, $$ jolloin kaikki termit osataan integroida. Nyt tulikin yhdeksi termiksi $$ (\arctan(x))'=\frac{1}{1+x^2}. $$
R3-integroidaan) Integroidaan \begin{equation*} \begin{split} \int\frac{x^3+3x^2}{x^2+1}dx &=\int x+3 dx -\frac{1}{2}\int\frac{2x}{x^2+1}dx -3\int\frac{1}{x^2+1}dx\\ &=\frac{x^2}{2}+3x-\frac{1}{2}\ln|x^2+1|-3\arctan(x)+C. \end{split} \end{equation*}

VIITTEET

[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.