6. Integrointitekniikoita
6.2 Rationaalifunktion integroiminen
6.2.3 jakokulma, osamurto
Esimerkki.
Laske
$$
\int\frac{7x^2+4x+1}{x^2-2x}dx.
$$
Ratkaisu.
R1-jaetaan) Integrandi on muotoa \(P/Q\), jossa ei päde \(\deg(P)\lt \deg(Q)\). Tulee siis tehdä jonkinlainen jakolasku. Lasketaan vaihtelun vuoksi jakokulmassa
\(x-1\)
\(7x^2\)
\(+4x\)
\(+1\)
Siis
$$
\frac{7x^2+4x+1}{x^2-2x}
=7+\frac{18x+1}{x^2-2x}.
$$
R2-hajotetaan) Halutaan termejä \(g'(x)/g(x)\). Muokataan lauseke muotoon
$$
7+\frac{18x+1}{x^2-2x}
=7+9\frac{2x-2}{x^2-2x}+19\frac{1}{x^2-2x},
$$
jolloin kaikki muut termit osataan integroida, paitsi viimeinen. Tehdään nyt osamurto
$$
\frac{1}{x^2-2x}
=\frac{1}{x(x-2)}
=\underbrace{\frac{A}{x}+\frac{B}{x-2}}_{\textrm{osataan integroida}}.
$$
Vakiot \(A\) ja \(B\) tulee siis vielä selvittää. Oikean puolen kehitelmä keksittiin periaatteella:
``Termi \(1/x(x-2)\) menee äärettömäksi, kun \(x=0\) tai \(x=2\), joten täytyy ottaa oikealle puolelle vastaavanlaiset äärettömäksi menevät termit''.
Kerrotaan puolittain termillä \(x(x-2)\), jolloin saadaan
$$
1=A(x-2)+Bx.
$$
Nyt
$$
\textrm{Sijoitetaan } x=0 \textrm{ saadaan } A=-\frac{1}{2}.
$$
$$
\textrm{Sijoitetaan } x=2 \textrm{ saadaan } B=\frac{1}{2}.
$$
R3-integroidaan) Integroidaan
\begin{equation*}
\begin{split}
\int\frac{7x^2+4x+1}{x^2-2x}dx
&=\int 7 dx
+9\int\frac{2x-2}{x^2-2x}dx
-\frac{19}{2}\int\frac{1}{x}dx
+\frac{19}{2}\int\frac{1}{x-2}dx\\
&=7x+9\ln|x^2-2x|-\frac{19}{2}\ln|x|+\frac{19}{2}\ln|x-2|+C.
\end{split}
\end{equation*}
Kommentti.
Huomataan, että
$$
9\ln|x^2-2x|
=9\ln|x(x-2)|
=9\ln|x|+9\ln|x-2|,
$$
ja vastaus siis sievenee vielä muotoon
$$
7x-\frac{1}{2}\ln|x|+\frac{37}{2}\ln|x-2|+C
$$
Ratkaisussa siis tehtiin turhaan hajotus
$$
\frac{18x+1}{x^2-2x}
=9\frac{2x-2}{x^2-2x}+19\frac{1}{x^2-2x}.
$$
(Olisi kannattanut jo huomata \(\deg(18x+1)\lt \deg(x^2-2x)\) ja lopettaa hajottaminen.)
Olisi kannattanut tehdä suoraan
$$
\frac{18x+1}{x^2-2x}
=\frac{18x+1}{x(x-2)}
=\frac{\alpha}{x}+\frac{\beta}{x-2},
$$
jolloin
$$
18x+1=\alpha(x-2)+\beta x.
$$
Nyt
$$
\textrm{Sijoitetaan } x=0 \textrm{ saadaan } \alpha=-\frac{1}{2}.
$$
$$
\textrm{Sijoitetaan } x=2 \textrm{ saadaan } \beta=\frac{37}{2}.
$$
Siis
$$
\frac{7x^2+4x+1}{x^2-2x}
=7+\frac{18x+1}{x^2-2x}
=7-\frac{1}{2}\frac{1}{x}
+\frac{37}{2}\frac{1}{x-2}
$$
ja integrointi osataan tehdä suoraan
\begin{equation*}
\begin{split}
\int\frac{7x^2+4x+1}{x^2-2x}dx
&=7x-\frac{1}{2}\ln|x|+\frac{37}{2}\ln|x-2|+C.
\end{split}
\end{equation*}
VIITTEET
[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.