6. Integrointitekniikoita

6.2 Rationaalifunktion integroiminen

6.2.3 jakokulma, osamurto


Esimerkki. Laske $$ \int\frac{7x^2+4x+1}{x^2-2x}dx. $$
Ratkaisu.
R1-jaetaan) Integrandi on muotoa \(P/Q\), jossa ei päde \(\deg(P)\lt \deg(Q)\). Tulee siis tehdä jonkinlainen jakolasku. Lasketaan vaihtelun vuoksi jakokulmassa
\(7\)
\(x-1\)
\(7x^2\)
\(+4x\)
\(+1\)
\(-7x^2\)
\(+14x\)
\(18x\)
\(+1\)
Siis $$ \frac{7x^2+4x+1}{x^2-2x} =7+\frac{18x+1}{x^2-2x}. $$
R2-hajotetaan) Halutaan termejä \(g'(x)/g(x)\). Muokataan lauseke muotoon $$ 7+\frac{18x+1}{x^2-2x} =7+9\frac{2x-2}{x^2-2x}+19\frac{1}{x^2-2x}, $$ jolloin kaikki muut termit osataan integroida, paitsi viimeinen. Tehdään nyt osamurto $$ \frac{1}{x^2-2x} =\frac{1}{x(x-2)} =\underbrace{\frac{A}{x}+\frac{B}{x-2}}_{\textrm{osataan integroida}}. $$ Vakiot \(A\) ja \(B\) tulee siis vielä selvittää. Oikean puolen kehitelmä keksittiin periaatteella: ``Termi \(1/x(x-2)\) menee äärettömäksi, kun \(x=0\) tai \(x=2\), joten täytyy ottaa oikealle puolelle vastaavanlaiset äärettömäksi menevät termit''. Kerrotaan puolittain termillä \(x(x-2)\), jolloin saadaan $$ 1=A(x-2)+Bx. $$ Nyt $$ \textrm{Sijoitetaan } x=0 \textrm{ saadaan } A=-\frac{1}{2}. $$ $$ \textrm{Sijoitetaan } x=2 \textrm{ saadaan } B=\frac{1}{2}. $$
R3-integroidaan) Integroidaan \begin{equation*} \begin{split} \int\frac{7x^2+4x+1}{x^2-2x}dx &=\int 7 dx +9\int\frac{2x-2}{x^2-2x}dx -\frac{19}{2}\int\frac{1}{x}dx +\frac{19}{2}\int\frac{1}{x-2}dx\\ &=7x+9\ln|x^2-2x|-\frac{19}{2}\ln|x|+\frac{19}{2}\ln|x-2|+C. \end{split} \end{equation*}
Kommentti. Huomataan, että $$ 9\ln|x^2-2x| =9\ln|x(x-2)| =9\ln|x|+9\ln|x-2|, $$ ja vastaus siis sievenee vielä muotoon $$ 7x-\frac{1}{2}\ln|x|+\frac{37}{2}\ln|x-2|+C $$ Ratkaisussa siis tehtiin turhaan hajotus $$ \frac{18x+1}{x^2-2x} =9\frac{2x-2}{x^2-2x}+19\frac{1}{x^2-2x}. $$ (Olisi kannattanut jo huomata \(\deg(18x+1)\lt \deg(x^2-2x)\) ja lopettaa hajottaminen.) Olisi kannattanut tehdä suoraan $$ \frac{18x+1}{x^2-2x} =\frac{18x+1}{x(x-2)} =\frac{\alpha}{x}+\frac{\beta}{x-2}, $$ jolloin $$ 18x+1=\alpha(x-2)+\beta x. $$ Nyt $$ \textrm{Sijoitetaan } x=0 \textrm{ saadaan } \alpha=-\frac{1}{2}. $$ $$ \textrm{Sijoitetaan } x=2 \textrm{ saadaan } \beta=\frac{37}{2}. $$ Siis $$ \frac{7x^2+4x+1}{x^2-2x} =7+\frac{18x+1}{x^2-2x} =7-\frac{1}{2}\frac{1}{x} +\frac{37}{2}\frac{1}{x-2} $$ ja integrointi osataan tehdä suoraan \begin{equation*} \begin{split} \int\frac{7x^2+4x+1}{x^2-2x}dx &=7x-\frac{1}{2}\ln|x|+\frac{37}{2}\ln|x-2|+C. \end{split} \end{equation*}

VIITTEET

[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.