6. Integrointitekniikoita

6.2 Rationaalifunktion integroiminen

6.2.4 osamurto, useampikertainen


Esimerkki. Laske $$ \int\frac{1}{x^3-3x^2}dx. $$
Ratkaisu.
R1-jaetaan) Integrandi on muotoa \(P(x)/Q(x)\), jossa \(\deg(P)\lt \deg(Q)\). Ei siis tarvitse jakaa enempää.
R2-hajotetaan) Tehdään nyt osamurto $$ \frac{1}{x^3-3x^2} =\frac{1}{x^2(x-3)} =\underbrace{\frac{A}{x} +\frac{B}{x^2} +\frac{C}{x-2}}_{\textrm{yrite}}. $$ Koska vasemmalla puolella ``\(x=0\) on kaksinkertainen napa ja \(x=3\) on yksinkertainen napa'', yritteeseen otettiin termit \(A/x\), \(B/x^2\) ja \(C/(x-3)\). (Vastaavaan tapaan differentiaaliyhtälölle $$ y''+2y'-3y=\sin(x)+x^2 $$ löydetään yksittäinen ratkaisu yritteellä $$ y(x)=D\cos(x)+E\sin(x)+Fx^4+Gx^3+Hx^2+Ix+J, $$ eli mukaan on otettava ``kaikki mahdollisesti tarpeellinen''.) Ratkaistaan vakiot \(A\), \(B\) ja \(C\). Kertomalla tekijällä \(x^2(x-3)\) saadaan $$ 1=Ax(x-3)+B(x-3)+Cx^2 $$ $$ \textrm{Sijoitetaan } x=0 \textrm{ saadaan } B=-\frac{1}{3}. $$ $$ \textrm{Sijoitetaan } x=3 \textrm{ saadaan } \beta=\frac{1}{9}. $$ Kerrotaan termillä \(1/x^2\), saadaan $$ \frac{1}{x^2}=A\frac{x(x-3)}{x^2}+B\frac{x-3}{x^2}+C. $$ Annetaan \(x\to\infty\), jolloin saadaan raja-arvoina $$ 0=A+0+C \quad \textrm{joten} \quad A=-C=-\frac{1}{9}. $$
R3-integroidaan) Saadaan siis \begin{equation*} \begin{split} \int\frac{1}{x^3-3x^2}dx &=-\frac{1}{9}\int\frac{1}{x}dx -\frac{1}{3}\int\frac{1}{x^2}dx +\frac{1}{9}\int\frac{1}{x-2}dx\\ &=-\frac{1}{9}\ln|x|+\frac{1}{3x} +\frac{1}{9}\ln|x-2|+C. \end{split} \end{equation*}

VIITTEET

[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.