6. Integrointitekniikoita
6.2 Rationaalifunktion integroiminen
6.2.4 osamurto, useampikertainen
Esimerkki.
Laske
$$
\int\frac{1}{x^3-3x^2}dx.
$$
Ratkaisu.
R1-jaetaan) Integrandi on muotoa \(P(x)/Q(x)\), jossa \(\deg(P)\lt \deg(Q)\). Ei siis tarvitse jakaa enempää.
R2-hajotetaan) Tehdään nyt osamurto
$$
\frac{1}{x^3-3x^2}
=\frac{1}{x^2(x-3)}
=\underbrace{\frac{A}{x}
+\frac{B}{x^2}
+\frac{C}{x-2}}_{\textrm{yrite}}.
$$
Koska vasemmalla puolella ``\(x=0\) on kaksinkertainen napa ja \(x=3\) on yksinkertainen napa'', yritteeseen otettiin termit \(A/x\), \(B/x^2\) ja \(C/(x-3)\). (Vastaavaan tapaan differentiaaliyhtälölle
$$
y''+2y'-3y=\sin(x)+x^2
$$
löydetään yksittäinen ratkaisu yritteellä
$$
y(x)=D\cos(x)+E\sin(x)+Fx^4+Gx^3+Hx^2+Ix+J,
$$
eli mukaan on otettava ``kaikki mahdollisesti tarpeellinen''.) Ratkaistaan vakiot \(A\), \(B\) ja \(C\). Kertomalla tekijällä \(x^2(x-3)\) saadaan
$$
1=Ax(x-3)+B(x-3)+Cx^2
$$
$$
\textrm{Sijoitetaan } x=0 \textrm{ saadaan } B=-\frac{1}{3}.
$$
$$
\textrm{Sijoitetaan } x=3 \textrm{ saadaan } \beta=\frac{1}{9}.
$$
Kerrotaan termillä \(1/x^2\), saadaan
$$
\frac{1}{x^2}=A\frac{x(x-3)}{x^2}+B\frac{x-3}{x^2}+C.
$$
Annetaan \(x\to\infty\), jolloin saadaan raja-arvoina
$$
0=A+0+C
\quad
\textrm{joten}
\quad A=-C=-\frac{1}{9}.
$$
R3-integroidaan) Saadaan siis
\begin{equation*}
\begin{split}
\int\frac{1}{x^3-3x^2}dx
&=-\frac{1}{9}\int\frac{1}{x}dx
-\frac{1}{3}\int\frac{1}{x^2}dx
+\frac{1}{9}\int\frac{1}{x-2}dx\\
&=-\frac{1}{9}\ln|x|+\frac{1}{3x}
+\frac{1}{9}\ln|x-2|+C.
\end{split}
\end{equation*}
VIITTEET
[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.