6. Integrointitekniikoita

6.2 Rationaalifunktion integroiminen

6.2.5 Extra, neliöksi täydentäminen

Esimerkki. Laske $$ \int\frac{1}{x^3+1}dx. $$
Ratkaisu.
R1-jaetaan) Integrandi on muotoa $P(x)/Q(x)$, jossa $\deg(P)\lt \deg(Q)$. Ei siis tarvitse jakaa enempää.
R2-hajotetaan) Tulee etsiä nimittäjän $x^3+1$ nollakohdat. Huomataan, että $x=-1$ on eräs juuri: $$ (-1)^3+1=-1+1=0. $$ Siis $x^3+1=(x+1)p(x)$ jollekin polynomille $p$. Lasketaan jakokulmassa

$x^2-x-1$

$x+1$

$x^3$

$-x^3$

$-x^2$

$+1$

$x^2$

$-x$

$+1$

$x$

$+1$

$0$

Siis $p(x)=x^2-x+1$ eli $x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$. Nyt $$ p(x)=x^2-x+1=0 $$ tuottaa $$ x=\frac{1\pm \sqrt{1-4}}{2} =\frac{1\pm \sqrt{3}i}{2}. $$ Siis termillä $x^2-x+1$ ei ole reaalisia juuria. Tehdään osamurto $$ \frac{1}{x^3+1} =\frac{1}{(x+1)(x^2-x+1)} =\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2-x+1} $$ ja kerrotaan termillä $x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$, jolloin saadaan \begin{equation*} \begin{split} 1&=A(x^2-x+1)+(Bx+C)(x+1)\\ &=\ldots\\ &=x^2(A+B)+x(B+C-A)+1\cdot (A+C). \end{split} \end{equation*} Jotta vasemman ja oikeanpuoleiset polynomit voivat olla samat kaikilla muuttujan $x$ arvoilla, termien $x^n$ kertoimien täytyy olla samat. Saadaan yhtälöryhmä \begin{align*} A&+B& &=0& (x^2\textrm{ kerroin})\\ -A&+B&+C&=0& (x^1\textrm{ kerroin})\\ A&&+C&=1& (x^0\textrm{ kerroin}). \end{align*} Saadaan $A=1/3$, $B=-1/3$, $C=2/3$. Siis $$ \frac{3}{x^3+1} =\underbrace{\frac{1}{x+1}}_{\textrm{osataan integroida}}-\frac{x-2}{x^2-x+1}. $$
R3-integroidaan) Tulisi osata integroida $$ \frac{x-2}{x^2-x+1}. $$ Täydennetään nimittäjään neliö $$ x^2-x+1=x^2-2\cdot\frac{1}{2}x+\bigg(\frac{1}{2}\bigg)^2-\bigg(\frac{1}{2}\bigg)^2+1 =\bigg(x-\frac{1}{2}\bigg)^2+\frac{3}{4}. $$ Merkitään $u=x-1/2$, jolloin $dx=du$, $x=u+1/2$ ja $x-2=u-3/2$. \begin{equation*} \begin{split} \int\frac{1}{x^3+1}dx &=\frac{1}{3}\int\frac{1}{x+1}dx -\frac{1}{3}\int\frac{u-3/2}{u^2+3/4}du\\ &=\frac{1}{3}\ln|x+1| -\frac{1}{6}\int\frac{2u}{u^2+3/4}du -\frac{1}{3}\frac{4/3}{1+(2u/\sqrt{3})^2}du\\ &=\frac{1}{3}\ln|x+1|-\frac{1}{6}\ln|u^2+3/4|+\frac{1}{2}\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan(2u/\sqrt{3})+C\\ &=\frac{1}{3}\ln|x+1|-\frac{1}{6}\ln|x^2-x+1|+\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan((2x-1)/\sqrt{3})+C. \end{split} \end{equation*}
Kommentti. Tehtävä oli sangen työläs. Tällaista ei tarvitse itse osata tällä kurssilla (eikä yleensä kyllä muuallakaan). Erityisen pahoja vaiheita olivat kertoimien $A$, $B$ ja $C$ laskeminen sekä integraali $$ \int\frac{x-2}{x^2-x+1}dx. $$ Polynomilla $x^2-x+1$ on juurina $$ \alpha=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}, \quad \beta=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}, $$ joten voidaan tehdä hajotelma $$ \frac{1}{x^3+1}=\frac{A}{x-\alpha}+\frac{B}{x-\beta}+\frac{C}{x+1}, $$ missä $$ C=\frac{1}{(1+\alpha)(1+\beta)}, \quad A=\frac{1}{(\alpha-\beta)(\alpha+1)}, \quad B=\frac{1}{(\beta-\alpha)(\beta+1)}. $$ Saadaan $$ \int\frac{1}{x^3+1}dx =A\ln|x-\alpha|+B\ln|x-\beta|+C\ln|x+1|. $$ Mutta tämän sieventämisessä tuntuu olevan iso työ.

VIITTEET

[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.