6. Integrointitekniikoita
6.2 Rationaalifunktion integroiminen
6.2.5 Extra, neliöksi täydentäminen
Esimerkki.
Laske
$$
\int\frac{1}{x^3+1}dx.
$$
Ratkaisu.
R1-jaetaan) Integrandi on muotoa \(P(x)/Q(x)\), jossa \(\deg(P)\lt \deg(Q)\). Ei siis tarvitse jakaa enempää.
R2-hajotetaan) Tulee etsiä nimittäjän \(x^3+1\) nollakohdat. Huomataan, että \(x=-1\) on eräs juuri:
$$
(-1)^3+1=-1+1=0.
$$
Siis \(x^3+1=(x+1)p(x)\) jollekin polynomille \(p\). Lasketaan jakokulmassa
Siis \(p(x)=x^2-x+1\) eli \(x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)\). Nyt
$$
p(x)=x^2-x+1=0
$$
tuottaa
$$
x=\frac{1\pm \sqrt{1-4}}{2}
=\frac{1\pm \sqrt{3}i}{2}.
$$
Siis termillä \(x^2-x+1\) ei ole reaalisia juuria. Tehdään osamurto
$$
\frac{1}{x^3+1}
=\frac{1}{(x+1)(x^2-x+1)}
=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2-x+1}
$$
ja kerrotaan termillä \(x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)\), jolloin saadaan
\begin{equation*}
\begin{split}
1&=A(x^2-x+1)+(Bx+C)(x+1)\\
&=\ldots\\
&=x^2(A+B)+x(B+C-A)+1\cdot (A+C).
\end{split}
\end{equation*}
Jotta vasemman ja oikeanpuoleiset polynomit voivat olla samat kaikilla muuttujan \(x\) arvoilla, termien \(x^n\) kertoimien täytyy olla samat. Saadaan yhtälöryhmä
\begin{align*}
A&+B& &=0& (x^2\textrm{ kerroin})\\
-A&+B&+C&=0& (x^1\textrm{ kerroin})\\
A&&+C&=1& (x^0\textrm{ kerroin}).
\end{align*}
Saadaan \(A=1/3\), \(B=-1/3\), \(C=2/3\). Siis
$$
\frac{3}{x^3+1}
=\underbrace{\frac{1}{x+1}}_{\textrm{osataan integroida}}-\frac{x-2}{x^2-x+1}.
$$
R3-integroidaan) Tulisi osata integroida
$$
\frac{x-2}{x^2-x+1}.
$$
Täydennetään nimittäjään neliö
$$
x^2-x+1=x^2-2\cdot\frac{1}{2}x+\bigg(\frac{1}{2}\bigg)^2-\bigg(\frac{1}{2}\bigg)^2+1
=\bigg(x-\frac{1}{2}\bigg)^2+\frac{3}{4}.
$$
Merkitään \(u=x-1/2\), jolloin \(dx=du\), \(x=u+1/2\) ja \(x-2=u-3/2\).
\begin{equation*}
\begin{split}
\int\frac{1}{x^3+1}dx
&=\frac{1}{3}\int\frac{1}{x+1}dx
-\frac{1}{3}\int\frac{u-3/2}{u^2+3/4}du\\
&=\frac{1}{3}\ln|x+1|
-\frac{1}{6}\int\frac{2u}{u^2+3/4}du
-\frac{1}{3}\frac{4/3}{1+(2u/\sqrt{3})^2}du\\
&=\frac{1}{3}\ln|x+1|-\frac{1}{6}\ln|u^2+3/4|+\frac{1}{2}\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan(2u/\sqrt{3})+C\\
&=\frac{1}{3}\ln|x+1|-\frac{1}{6}\ln|x^2-x+1|+\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan((2x-1)/\sqrt{3})+C.
\end{split}
\end{equation*}
Kommentti. Tehtävä oli sangen työläs. Tällaista ei tarvitse itse osata tällä kurssilla (eikä yleensä kyllä muuallakaan). Erityisen pahoja vaiheita olivat kertoimien \(A\), \(B\) ja \(C\) laskeminen sekä integraali
$$
\int\frac{x-2}{x^2-x+1}dx.
$$
Polynomilla \(x^2-x+1\) on juurina
$$
\alpha=\frac{1+\sqrt{3}i}{2},
\quad \beta=\frac{1+\sqrt{3}i}{2},
$$
joten voidaan tehdä hajotelma
$$
\frac{1}{x^3+1}=\frac{A}{x-\alpha}+\frac{B}{x-\beta}+\frac{C}{x+1},
$$
missä
$$
C=\frac{1}{(1+\alpha)(1+\beta)},
\quad
A=\frac{1}{(\alpha-\beta)(\alpha+1)},
\quad
B=\frac{1}{(\beta-\alpha)(\beta+1)}.
$$
Saadaan
$$
\int\frac{1}{x^3+1}dx
=A\ln|x-\alpha|+B\ln|x-\beta|+C\ln|x+1|.
$$
Mutta tämän sieventämisessä tuntuu olevan iso työ.
VIITTEET
[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.