6. Integrointitekniikoita

6.2 Rationaalifunktion integroiminen

6.2.5 Extra, neliöksi täydentäminen


Esimerkki. Laske $$ \int\frac{1}{x^3+1}dx. $$
Ratkaisu.
R1-jaetaan) Integrandi on muotoa \(P(x)/Q(x)\), jossa \(\deg(P)\lt \deg(Q)\). Ei siis tarvitse jakaa enempää.
R2-hajotetaan) Tulee etsiä nimittäjän \(x^3+1\) nollakohdat. Huomataan, että \(x=-1\) on eräs juuri: $$ (-1)^3+1=-1+1=0. $$ Siis \(x^3+1=(x+1)p(x)\) jollekin polynomille \(p\). Lasketaan jakokulmassa
\(x^2-x-1\)
\(x+1\)
\(x^3\)
1
\(-x^3\)
\(-x^2\)
\(-x^2\)
\(+1\)
\(x^2\)
\(-x\)
\(-x\)
\(+1\)
\(x\)
\(+1\)
\(0\)
Siis \(p(x)=x^2-x+1\) eli \(x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)\). Nyt $$ p(x)=x^2-x+1=0 $$ tuottaa $$ x=\frac{1\pm \sqrt{1-4}}{2} =\frac{1\pm \sqrt{3}i}{2}. $$ Siis termillä \(x^2-x+1\) ei ole reaalisia juuria. Tehdään osamurto $$ \frac{1}{x^3+1} =\frac{1}{(x+1)(x^2-x+1)} =\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2-x+1} $$ ja kerrotaan termillä \(x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)\), jolloin saadaan \begin{equation*} \begin{split} 1&=A(x^2-x+1)+(Bx+C)(x+1)\\ &=\ldots\\ &=x^2(A+B)+x(B+C-A)+1\cdot (A+C). \end{split} \end{equation*} Jotta vasemman ja oikeanpuoleiset polynomit voivat olla samat kaikilla muuttujan \(x\) arvoilla, termien \(x^n\) kertoimien täytyy olla samat. Saadaan yhtälöryhmä \begin{align*} A&+B& &=0& (x^2\textrm{ kerroin})\\ -A&+B&+C&=0& (x^1\textrm{ kerroin})\\ A&&+C&=1& (x^0\textrm{ kerroin}). \end{align*} Saadaan \(A=1/3\), \(B=-1/3\), \(C=2/3\). Siis $$ \frac{3}{x^3+1} =\underbrace{\frac{1}{x+1}}_{\textrm{osataan integroida}}-\frac{x-2}{x^2-x+1}. $$
R3-integroidaan) Tulisi osata integroida $$ \frac{x-2}{x^2-x+1}. $$ Täydennetään nimittäjään neliö $$ x^2-x+1=x^2-2\cdot\frac{1}{2}x+\bigg(\frac{1}{2}\bigg)^2-\bigg(\frac{1}{2}\bigg)^2+1 =\bigg(x-\frac{1}{2}\bigg)^2+\frac{3}{4}. $$ Merkitään \(u=x-1/2\), jolloin \(dx=du\), \(x=u+1/2\) ja \(x-2=u-3/2\). \begin{equation*} \begin{split} \int\frac{1}{x^3+1}dx &=\frac{1}{3}\int\frac{1}{x+1}dx -\frac{1}{3}\int\frac{u-3/2}{u^2+3/4}du\\ &=\frac{1}{3}\ln|x+1| -\frac{1}{6}\int\frac{2u}{u^2+3/4}du -\frac{1}{3}\frac{4/3}{1+(2u/\sqrt{3})^2}du\\ &=\frac{1}{3}\ln|x+1|-\frac{1}{6}\ln|u^2+3/4|+\frac{1}{2}\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan(2u/\sqrt{3})+C\\ &=\frac{1}{3}\ln|x+1|-\frac{1}{6}\ln|x^2-x+1|+\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan((2x-1)/\sqrt{3})+C. \end{split} \end{equation*}
Kommentti. Tehtävä oli sangen työläs. Tällaista ei tarvitse itse osata tällä kurssilla (eikä yleensä kyllä muuallakaan). Erityisen pahoja vaiheita olivat kertoimien \(A\), \(B\) ja \(C\) laskeminen sekä integraali $$ \int\frac{x-2}{x^2-x+1}dx. $$ Polynomilla \(x^2-x+1\) on juurina $$ \alpha=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}, \quad \beta=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}, $$ joten voidaan tehdä hajotelma $$ \frac{1}{x^3+1}=\frac{A}{x-\alpha}+\frac{B}{x-\beta}+\frac{C}{x+1}, $$ missä $$ C=\frac{1}{(1+\alpha)(1+\beta)}, \quad A=\frac{1}{(\alpha-\beta)(\alpha+1)}, \quad B=\frac{1}{(\beta-\alpha)(\beta+1)}. $$ Saadaan $$ \int\frac{1}{x^3+1}dx =A\ln|x-\alpha|+B\ln|x-\beta|+C\ln|x+1|. $$ Mutta tämän sieventämisessä tuntuu olevan iso työ.

VIITTEET

[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.