6. Integrointitekniikoita
6.3 Integrointi sijoittamalla
6.3.1 Transkendenttisijoitukset
Kirjasssa on kuvailtu, kuinka eräitä integraaleja voi laskea sijoittamalla. Tällä kurssilla ei perehdytä näihin sijoituksiin syvällisemmin. Sijoittaminen perustuu siihen, että integraali muuttuu helpommaksi.
Trigonometriset sijoitukset
$$
x=a\sin(t)\Rightarrow \sqrt{a^2-x^2}=|a\cos(t)|,\quad dx=a\cos(t)dt
$$
$$
x=a\tan(t)\Rightarrow \sqrt{a^2+x^2}=\bigg|\frac{a}{\cos(t)}\bigg|,
\quad dx=\frac{adt}{\cos^2(t)}
$$
$$
x=\frac{a}{\cos(t)}\Rightarrow
\sqrt{x^2-a^2}=|a\tan(t)|,
\quad
dx=\frac{a\sin(t)}{\cos^2(t)}
$$
Hyperboliset sijoitukset
$$
x=\frac{a}{\cosh(t)}\Rightarrow
\sqrt{x^2-a^2}=|a\sinh(t)|,
\quad
dx=-\frac{a\sinh(t)}{\cosh^2(t)}
$$
$$
x=\frac{a}{\sinh(t)}\Rightarrow
\sqrt{x^2+a^2}=|a\cosh(t)|,
\quad dx=-\frac{a\cosh(t)}{\sinh(t)}
$$
Sijoitus \(\tan(t/2)\). Jos \(x=\tan(t/2)\), niin
$$
\cos(t)=\frac{1-x^2}{1+x^2},
\quad
\sin(t)=\frac{2x}{1+x^2}
\quad
dt=\frac{2dx}{1+x^2}.
$$
VIITTEET
[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.