6. Integrointitekniikoita
6.4 Integrointi arvaamalla
6.4.1 Esimerkki
Esimerkki. Laske
$$
I(x)=\int (x^2+x+1)e^xdx.
$$
Ratkaisu. Kokemuksesta tiedetään, että jos \(p\) on polynomi, niin funktion \(p(x)e^x\) derivaatta on \(q(x)e^x\), missä \(\deg(q)=\deg(p)\). Siis todennäköisesti
$$
I(x)=(a+bx+cx^2)e^x+d.
$$
Joillakin vakioilla \(a\), \(b\), \(c\) ja \(d\). Siis
$$
I'(x)=(b+2cx)e^x+(a+bx+cx^2)e^x
=(cx^2 +(b+2c)x+(a+b))e^x
=(x^2+x+1)e^x.
$$
Siis täytyy olla \(c=1\), \(b=1-2c=-1\) ja \(a=1-b=2\). Siis
$$
\int (x^2+x+1)e^xdx=(x^2-x+2)e^x+C.
$$
Menetelmää voi kutsua muun muassa\\
\(\bullet\) arvaamiseksi\\
\(\bullet\) yritteellä integroinniksi\\
\(\bullet\) määräämättömien kertoimien menetelmäksi.
VIITTEET
[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.