6. Integrointitekniikoita

6.4 Integrointi arvaamalla

6.4.1 Esimerkki


Esimerkki. Laske $$ I(x)=\int (x^2+x+1)e^xdx. $$
Ratkaisu. Kokemuksesta tiedetään, että jos \(p\) on polynomi, niin funktion \(p(x)e^x\) derivaatta on \(q(x)e^x\), missä \(\deg(q)=\deg(p)\). Siis todennäköisesti $$ I(x)=(a+bx+cx^2)e^x+d. $$ Joillakin vakioilla \(a\), \(b\), \(c\) ja \(d\). Siis $$ I'(x)=(b+2cx)e^x+(a+bx+cx^2)e^x =(cx^2 +(b+2c)x+(a+b))e^x =(x^2+x+1)e^x. $$ Siis täytyy olla \(c=1\), \(b=1-2c=-1\) ja \(a=1-b=2\). Siis $$ \int (x^2+x+1)e^xdx=(x^2-x+2)e^x+C. $$ Menetelmää voi kutsua muun muassa\\ \(\bullet\) arvaamiseksi\\ \(\bullet\) yritteellä integroinniksi\\ \(\bullet\) määräämättömien kertoimien menetelmäksi.

VIITTEET

[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.