6. Integrointitekniikoita

6.5 Epäoleelliset integraalit

6.5.1 Tyyppi~I: rajoittamaton väli


Määritelmä. (Tyyppi~I. Välillä \([a,\infty)\) jatkuvan funktion \(f\) epäoleellinen integraali yli välin \([a,\infty)\) on $$ \int_a^\infty f(x)dx =\lim_{R\to\infty}f(x)dx. $$ Vastaavasti, jos \(f\) on jatkuva välillä \((-\infty,b]\), niin $$ \int_{-\infty}^bf(x)dx =\lim_{R\to\infty}\int_R^bf(x)dx. $$ Kummassakin tapauksessa, jos raja-arvo on äärellisenä olemassa, niin kyseessä oleva epäoleellinen integraali suppenee. Jos raja-arvoa ei ole olemassa, niin epäoleellinen integraali hajaantuu.
Esimerkki. $$ \int_1^\infty\frac{1}{x^2}dx =\lim_{R\to\infty}\int_1^R\frac{1}{x^2}dx =\lim_{R\to\infty}-\bigg|_1^R\frac{1}{x} =\lim_{R\to\infty}(\underbrace{-1/R}_{\to 0}+1)=1. $$
Esimerkki. $$ \int_1^\infty\frac{1}{\sqrt{x}}dx =\lim_{R\to\infty}\int_1^R\frac{1}{\sqrt{x}}dx =\lim_{R\to\infty}\bigg|_1^R2\sqrt{x} =\lim_{R\to\infty}(\underbrace{2\sqrt{R}}_{\to \infty}-2\sqrt{1})=\infty. $$
Esimerkki. \begin{equation*} \begin{split} \int_{-\infty}^\infty\frac{1}{1+x^2}dx &=2\int_0^\infty\frac{1}{1+x^2}dx =2\lim_{R\to\infty}\int_0^R\frac{1}{1+x^2}dx\\ &=2\lim_{R\to\infty}(\arctan R-\arctan 0)=\pi. \end{split} \end{equation*}

VIITTEET

[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.