6. Integrointitekniikoita
6.5 Epäoleelliset integraalit
6.5.1 Tyyppi~I: rajoittamaton väli
Määritelmä. (Tyyppi~I. Välillä \([a,\infty)\) jatkuvan funktion \(f\)
epäoleellinen integraali yli välin \([a,\infty)\) on
$$
\int_a^\infty f(x)dx
=\lim_{R\to\infty}f(x)dx.
$$
Vastaavasti, jos \(f\) on jatkuva välillä \((-\infty,b]\), niin
$$
\int_{-\infty}^bf(x)dx
=\lim_{R\to\infty}\int_R^bf(x)dx.
$$
Kummassakin tapauksessa, jos raja-arvo on äärellisenä olemassa, niin kyseessä oleva epäoleellinen integraali
suppenee. Jos raja-arvoa ei ole olemassa, niin epäoleellinen integraali
hajaantuu.
Esimerkki.
$$
\int_1^\infty\frac{1}{x^2}dx
=\lim_{R\to\infty}\int_1^R\frac{1}{x^2}dx
=\lim_{R\to\infty}-\bigg|_1^R\frac{1}{x}
=\lim_{R\to\infty}(\underbrace{-1/R}_{\to 0}+1)=1.
$$
Esimerkki.
$$
\int_1^\infty\frac{1}{\sqrt{x}}dx
=\lim_{R\to\infty}\int_1^R\frac{1}{\sqrt{x}}dx
=\lim_{R\to\infty}\bigg|_1^R2\sqrt{x}
=\lim_{R\to\infty}(\underbrace{2\sqrt{R}}_{\to \infty}-2\sqrt{1})=\infty.
$$
Esimerkki.
\begin{equation*}
\begin{split}
\int_{-\infty}^\infty\frac{1}{1+x^2}dx
&=2\int_0^\infty\frac{1}{1+x^2}dx
=2\lim_{R\to\infty}\int_0^R\frac{1}{1+x^2}dx\\
&=2\lim_{R\to\infty}(\arctan R-\arctan 0)=\pi.
\end{split}
\end{equation*}
VIITTEET
[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.