Processing math: 30%

6. Integrointitekniikoita

6.5 Epäoleelliset integraalit

6.5.1 Tyyppi~I: rajoittamaton väli

Määritelmä. (Tyyppi~I. Välillä

$[a,\infty)$ jatkuvan funktion

$f$ epäoleellinen integraali yli välin

$[a,\infty)$ on

$\int_a^\infty f(x)dx =\lim_{R\to\infty}f(x)dx.$ Vastaavasti, jos

$f$ on jatkuva välillä

$(-\infty,b]$ , niin

$\int_{-\infty}^bf(x)dx =\lim_{R\to\infty}\int_R^bf(x)dx.$ Kummassakin tapauksessa, jos raja-arvo on äärellisenä olemassa, niin kyseessä oleva epäoleellinen integraali suppenee. Jos raja-arvoa ei ole olemassa, niin epäoleellinen integraali hajaantuu.
Esimerkki.

$\int_1^\infty\frac{1}{x^2}dx =\lim_{R\to\infty}\int_1^R\frac{1}{x^2}dx =\lim_{R\to\infty}-\bigg|_1^R\frac{1}{x} =\lim_{R\to\infty}(\underbrace{-1/R}_{\to 0}+1)=1.$
Esimerkki.

$\int_1^\infty\frac{1}{\sqrt{x}}dx =\lim_{R\to\infty}\int_1^R\frac{1}{\sqrt{x}}dx =\lim_{R\to\infty}\bigg|_1^R2\sqrt{x} =\lim_{R\to\infty}(\underbrace{2\sqrt{R}}_{\to \infty}-2\sqrt{1})=\infty.$
Esimerkki.

$\begin{equation*} \begin{split} \int_{-\infty}^\infty\frac{1}{1+x^2}dx &=2\int_0^\infty\frac{1}{1+x^2}dx =2\lim_{R\to\infty}\int_0^R\frac{1}{1+x^2}dx\\ &=2\lim_{R\to\infty}(\arctan R-\arctan 0)=\pi. \end{split} \end{equation*}$

VIITTEET

[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.