6. Integrointitekniikoita
6.5 Epäoleelliset integraalit
6.5.2 Tyyppi~II: rajoittamaton funktio
Määritelmä. (Tyyppi~II. Olkoon \(f\) jatkuva välillä \((a,b]\) ja mahdollisesti rajoittamaton kohdan \(a\) läheisyydessä. Funktion
epäoleellinen integraali yli välin \((a,b]\) on
$$
\int_a^b f(x)dx
=\lim_{c\to a^+}\int_c^b f(x)dx.
$$
Vastaavasti, jos \(f\) on jatkuva välillä \([a,b)\), niin
$$
\int_a^b f(x)dx
=\lim_{c\to b^-}\int_a^c f(x)dx.
$$
Jos raja-arvo on äärellisenä olemassa, niin kyseessä oleva epäoleellinen integraali
suppenee, muuten
hajaantuu.
Esimerkki.
$$
\int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}dx
=\lim_{c\to 0^+}\int_c^1\frac{1}{\sqrt{x}}dx
=\lim_{c\to 0^+}(2\sqrt{1}-2\sqrt{c})=2.
$$
Esimerkki.
$$
\int_0^1\frac{1}{x^2}dx=\infty.
$$
Lause. (\(p\)-integraalit)
Olkoon \(0\lt a\lt \infty\). Tällöin
$$
\int_a^\infty x^{-p}dx=\frac{a^{1-p}}{p-1},\quad p\gt 1,
$$
ja \(=\infty\) muulloin. Lisäksi
$$
\int_0^a x^{-p}dx=\frac{a^{1-p}}{1-p},\quad p\lt 1,
$$
ja \(=\infty\) muulloin.
VIITTEET
[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.