6. Integrointitekniikoita

6.5 Epäoleelliset integraalit

6.5.2 Tyyppi~II: rajoittamaton funktio


Määritelmä. (Tyyppi~II. Olkoon \(f\) jatkuva välillä \((a,b]\) ja mahdollisesti rajoittamaton kohdan \(a\) läheisyydessä. Funktion epäoleellinen integraali yli välin \((a,b]\) on $$ \int_a^b f(x)dx =\lim_{c\to a^+}\int_c^b f(x)dx. $$ Vastaavasti, jos \(f\) on jatkuva välillä \([a,b)\), niin $$ \int_a^b f(x)dx =\lim_{c\to b^-}\int_a^c f(x)dx. $$ Jos raja-arvo on äärellisenä olemassa, niin kyseessä oleva epäoleellinen integraali suppenee, muuten hajaantuu.
Esimerkki. $$ \int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}dx =\lim_{c\to 0^+}\int_c^1\frac{1}{\sqrt{x}}dx =\lim_{c\to 0^+}(2\sqrt{1}-2\sqrt{c})=2. $$
Esimerkki. $$ \int_0^1\frac{1}{x^2}dx=\infty. $$
Lause. (\(p\)-integraalit) Olkoon \(0\lt a\lt \infty\). Tällöin $$ \int_a^\infty x^{-p}dx=\frac{a^{1-p}}{p-1},\quad p\gt 1, $$ ja \(=\infty\) muulloin. Lisäksi $$ \int_0^a x^{-p}dx=\frac{a^{1-p}}{1-p},\quad p\lt 1, $$ ja \(=\infty\) muulloin.

VIITTEET

[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.