6. Integrointitekniikoita
6.6 Puolisuunnikas- ja keskipistemenetelmä
6.6.1 Yhteenveto
Joissakin tapauksissa määrättyä integraalia
$$
\int_a^b f(x)dx
$$
ei voida laskea käsin/analyyttisesti, tai sen laskeminen on hankalaa. Tällöin voidaan käyttää numeerista integrointia (=approksimaatio), esim. Riemannin ala- ja yläsummat, yleisemmin kaikki Riemannin summat.
Vasen päätepiste -menetelmä (L ``left'')
$$
L_n
=\frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f\bigg(a+\frac{b-a}{n}k\bigg)
$$
Oikea päätepiste -menetelmä (R ``right'')
$$
R_n
=\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n}f\bigg(a+\frac{b-a}{n}k\bigg)
$$
Puolisuunnikasmenetelmä (T ``trapezoid'')
$$
T_n
=\frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^nf\bigg(a+\frac{b-a}{n}k\bigg)w_k,
$$
missä \(w_0=w_n=1/2\) ja muutoin \(w_k=1\), jolle pätee
$$
T_n=\frac{L_n+R_n}{2}.
$$
Keskipistemenetelmä (M ``midpoint'')
$$
M_n
=\frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f\bigg(a+\frac{b-a}{n}(k+1/2)\bigg).
$$
Simpsonin menetelmä
$$
S_{2n}=\frac{T_n+2M_n}{3}.
$$
VIITTEET
[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.