6. Integrointitekniikoita

6.6 Puolisuunnikas- ja keskipistemenetelmä

6.6.1 Yhteenveto

Joissakin tapauksissa määrättyä integraalia $$ \int_a^b f(x)dx $$ ei voida laskea käsin/analyyttisesti, tai sen laskeminen on hankalaa. Tällöin voidaan käyttää numeerista integrointia (=approksimaatio), esim. Riemannin ala- ja yläsummat, yleisemmin kaikki Riemannin summat.
Vasen päätepiste -menetelmä (L ``left'') $$ L_n =\frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f\bigg(a+\frac{b-a}{n}k\bigg) $$
Oikea päätepiste -menetelmä (R ``right'') $$ R_n =\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n}f\bigg(a+\frac{b-a}{n}k\bigg) $$
Puolisuunnikasmenetelmä (T ``trapezoid'') $$ T_n =\frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^nf\bigg(a+\frac{b-a}{n}k\bigg)w_k, $$ missä \(w_0=w_n=1/2\) ja muutoin \(w_k=1\), jolle pätee $$ T_n=\frac{L_n+R_n}{2}. $$
Keskipistemenetelmä (M ``midpoint'') $$ M_n =\frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f\bigg(a+\frac{b-a}{n}(k+1/2)\bigg). $$
Simpsonin menetelmä $$ S_{2n}=\frac{T_n+2M_n}{3}. $$

VIITTEET

[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.