6. Integrointitekniikoita
6.6 Puolisuunnikas- ja keskipistemenetelmä
6.6.2 Vasen ja oikea päätepistemenetelmä
Esimerkki. Laske likiarvo integraalille
$$
\quad \int_0^1 x^2dx.
$$
Ratkaisu. (a) Vasen päätepiste -menetelmällä
$$
\int_0^1 x^2dx
\stackrel{L_4}{\approx}
\frac{1}{4}\big(0^2+(1/4)^2+(2/4)^2+(3/4)^2\big)
=\frac{1}{4}\frac{1+4+9}{16}
=\frac{14}{64}=\frac{7}{32}.
$$
Vastaavasti, oikea päätepiste -menetelmällä
$$
\int_0^1 x^2dx
\stackrel{R_4}{\approx}
\frac{1}{4}\big((1/4)^2+(2/4)^2+(3/4)^2+1^2\big)
=\frac{1}{4}\frac{1+4+9+16}{16}
=\frac{30}{64}=\frac{15}{32}.
$$
Integraalin tarkka arvo on
$$
\int_0^1 x^2dx=\bigg[\frac{x^3}{3}\bigg]_{x=0}^1
=\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}.
$$
Virhetarkastelu. Vasen päätepiste -menetelmällä absoluuttinen virhe
$$
\frac{7}{32}-\frac{1}{3}
=-0.11458
$$
ja suhteellinen virhe on
$$
\bigg(\frac{7}{32}-\frac{1}{3}\bigg)/(1/3)
=0.343=34\%.
$$
Oikea päätepiste -menetelmällä absoluuttinen virhe
$$
\frac{15}{32}-\frac{1}{3}
=0.1354
$$
ja suhteellinen virhe on
$$
\bigg(\frac{15}{32}-\frac{1}{3}\bigg)/(1/3)
= 0.406=41\%.
$$
Koska \(f(x)=x^2\) on kasvava välillä \([0,1]\), niin VPM antaa arvion alakanttiin ja OPM yläkanttiin.
Jos taas \(f\) olisi vähenevä, niin tilanne olisi toisinpäin.
Ahaa! Siis menetelmien keskiarvo
$$
\frac{VPM+OPM}{2}
$$
voisi olla hyvä arvio.
Näiden keskiarvo (puolisuunnikasmenetelmä) onkin yleensä parempi arvio.
Tehtävä. Laske integraalille
$$
\int_0^\pi\sin(x)dx
$$
likiarvo menetelmällä \(L_4\) tai \(R_4\). Laske absoluuttinen ja suhteellinen virhe.
VIITTEET
[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.