6. Integrointitekniikoita

6.6 Puolisuunnikas- ja keskipistemenetelmä

6.6.2 Vasen ja oikea päätepistemenetelmä


Esimerkki. Laske likiarvo integraalille $$ \quad \int_0^1 x^2dx. $$
Ratkaisu. (a) Vasen päätepiste -menetelmällä $$ \int_0^1 x^2dx \stackrel{L_4}{\approx} \frac{1}{4}\big(0^2+(1/4)^2+(2/4)^2+(3/4)^2\big) =\frac{1}{4}\frac{1+4+9}{16} =\frac{14}{64}=\frac{7}{32}. $$ Vastaavasti, oikea päätepiste -menetelmällä $$ \int_0^1 x^2dx \stackrel{R_4}{\approx} \frac{1}{4}\big((1/4)^2+(2/4)^2+(3/4)^2+1^2\big) =\frac{1}{4}\frac{1+4+9+16}{16} =\frac{30}{64}=\frac{15}{32}. $$ Integraalin tarkka arvo on $$ \int_0^1 x^2dx=\bigg[\frac{x^3}{3}\bigg]_{x=0}^1 =\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}. $$
Virhetarkastelu. Vasen päätepiste -menetelmällä absoluuttinen virhe $$ \frac{7}{32}-\frac{1}{3} =-0.11458 $$ ja suhteellinen virhe on $$ \bigg(\frac{7}{32}-\frac{1}{3}\bigg)/(1/3) =0.343=34\%. $$ Oikea päätepiste -menetelmällä absoluuttinen virhe $$ \frac{15}{32}-\frac{1}{3} =0.1354 $$ ja suhteellinen virhe on $$ \bigg(\frac{15}{32}-\frac{1}{3}\bigg)/(1/3) = 0.406=41\%. $$ Koska \(f(x)=x^2\) on kasvava välillä \([0,1]\), niin VPM antaa arvion alakanttiin ja OPM yläkanttiin. Jos taas \(f\) olisi vähenevä, niin tilanne olisi toisinpäin.
Ahaa! Siis menetelmien keskiarvo $$ \frac{VPM+OPM}{2} $$ voisi olla hyvä arvio. Näiden keskiarvo (puolisuunnikasmenetelmä) onkin yleensä parempi arvio.
Tehtävä. Laske integraalille $$ \int_0^\pi\sin(x)dx $$ likiarvo menetelmällä \(L_4\) tai \(R_4\). Laske absoluuttinen ja suhteellinen virhe.

VIITTEET

[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.