Processing math: 100%

6. Integrointitekniikoita

6.6 Puolisuunnikas- ja keskipistemenetelmä

6.6.2 Vasen ja oikea päätepistemenetelmä

Esimerkki. Laske likiarvo integraalille

$\quad \int_0^1 x^2dx.$
Ratkaisu. (a) Vasen päätepiste -menetelmällä

$\int_0^1 x^2dx \stackrel{L_4}{\approx} \frac{1}{4}\big(0^2+(1/4)^2+(2/4)^2+(3/4)^2\big) =\frac{1}{4}\frac{1+4+9}{16} =\frac{14}{64}=\frac{7}{32}.$ Vastaavasti, oikea päätepiste -menetelmällä

$\int_0^1 x^2dx \stackrel{R_4}{\approx} \frac{1}{4}\big((1/4)^2+(2/4)^2+(3/4)^2+1^2\big) =\frac{1}{4}\frac{1+4+9+16}{16} =\frac{30}{64}=\frac{15}{32}.$ Integraalin tarkka arvo on

$\int_0^1 x^2dx=\bigg[\frac{x^3}{3}\bigg]_{x=0}^1 =\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}.$
Virhetarkastelu. Vasen päätepiste -menetelmällä absoluuttinen virhe

$\frac{7}{32}-\frac{1}{3} =-0.11458$ ja suhteellinen virhe on

$\bigg(\frac{7}{32}-\frac{1}{3}\bigg)/(1/3) =0.343=34\%.$ Oikea päätepiste -menetelmällä absoluuttinen virhe

$\frac{15}{32}-\frac{1}{3} =0.1354$ ja suhteellinen virhe on

$\bigg(\frac{15}{32}-\frac{1}{3}\bigg)/(1/3) = 0.406=41\%.$ Koska

$f(x)=x^2$ on kasvava välillä

$[0,1]$ , niin VPM antaa arvion alakanttiin ja OPM yläkanttiin. Jos taas

$f$ olisi vähenevä, niin tilanne olisi toisinpäin.
Ahaa! Siis menetelmien keskiarvo

$\frac{VPM+OPM}{2}$ voisi olla hyvä arvio. Näiden keskiarvo (puolisuunnikasmenetelmä) onkin yleensä parempi arvio.
Tehtävä. Laske integraalille

$\int_0^\pi\sin(x)dx$ likiarvo menetelmällä

$L_4$ tai

$R_4$ . Laske absoluuttinen ja suhteellinen virhe.

VIITTEET

[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.