6. Integrointitekniikoita

6.6 Puolisuunnikas- ja keskipistemenetelmä

6.6.3 Puolisuunnikasmenetelmä

Aiemmin laskettiin likiarvoa integraalille $$ \quad \int_0^1 x^2dx=\frac{1}{3}. $$ Vasen päätepiste -menetelmä ja oikea päätepiste -menetelmä tuottivat tulokset \begin{equation*} \begin{split} VPM_4&=\frac{7}{32}=\frac{1}{3}-0,11458,\\ OPM_4&=\frac{15}{32}=\frac{1}{3}+0,1354. \end{split} \end{equation*} Koska \(f(x)=x^2\) on kasvava välillä \([0,1]\), niin VPM antaa arvion alakanttiin ja OPM yläkanttiin. Jos taas \(f\) olisi vähenevä, niin tilanne olisi toisinpäin.\\
Ahaa! Siis menetelmien keskiarvo $$ T_n=\frac{VPM_n+OPM_n}{2} $$ voisi olla hyvä arvio. Ainakin parempi kuin pelkkä VPM tai OPM, aina kun funktio on monotoninen (kasvava/vähenevä).
Esimerkki. Laske puolisuunnikasmenetelmällä likiarvo integraalille $$ \int_0^1x^2 dx=\frac{1}{3}. $$
Ratkaisu. Saadaan \begin{equation*} \begin{split} \int_0^1x^2 dx&\stackrel{T_4}{\approx} \frac{1}{4}\bigg( \frac{1}{2}0^2 +(1/4)^2 +(2/4)^2 +(3/4)^2 \frac{1}{2}(4/4)^2 \bigg)\\ &=\frac{1\cdot 0^2+2\cdot 1^2+2\cdot 2^2+2\cdot 3^2+1\cdot 4^2}{4\cdot 2\cdot 4^2}\\ &=\frac{0+2+8+18+16}{4\cdot 2\cdot 4^2} =\frac{44}{128} =\frac{11}{32}. \end{split} \end{equation*}
Virhetarkastelu. Absoluuttinen virhe on $$ \frac{11}{32}-\frac{1}{3}=0,01041 $$ ja suhteellinen virhe on $$ \bigg(\frac{11}{32}-\frac{1}{3}\bigg):\frac{1}{3}=0,031=3,1\%. $$ Puolisuunnikassääntö antoi siis hieman liian ison arvon. Piirtämällä kuva nähdään, että tämä on luonnollista. Sanallisesti sanottuna, koska \(x^2\) on välillä \([0,1]\) kasvava ja konveksi (kuvaajan pisteitä yhdistelevän murtoviivan alla), niin puolisuunnikasmenetelmä antaa liian suuren arvon.
Tehtävä. Laske integraalille $$ \int_0^\pi\sin(x)dx $$ likiarvo puolisuunnikasmenetelmällä \(P_4\). Laske absoluuttinen ja suhteellinen virhe.

VIITTEET

[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.