6. Integrointitekniikoita
6.6 Puolisuunnikas- ja keskipistemenetelmä
6.6.3 Puolisuunnikasmenetelmä
Aiemmin laskettiin likiarvoa integraalille
$$
\quad \int_0^1 x^2dx=\frac{1}{3}.
$$
Vasen päätepiste -menetelmä ja oikea päätepiste -menetelmä tuottivat tulokset
\begin{equation*}
\begin{split}
VPM_4&=\frac{7}{32}=\frac{1}{3}-0,11458,\\
OPM_4&=\frac{15}{32}=\frac{1}{3}+0,1354.
\end{split}
\end{equation*}
Koska \(f(x)=x^2\) on kasvava välillä \([0,1]\), niin VPM antaa arvion alakanttiin ja OPM yläkanttiin.
Jos taas \(f\) olisi vähenevä, niin tilanne olisi toisinpäin.\\
Ahaa! Siis menetelmien keskiarvo
$$
T_n=\frac{VPM_n+OPM_n}{2}
$$
voisi olla hyvä arvio. Ainakin parempi kuin pelkkä VPM tai OPM, aina kun funktio on monotoninen (kasvava/vähenevä).
Esimerkki. Laske puolisuunnikasmenetelmällä likiarvo integraalille
$$
\int_0^1x^2 dx=\frac{1}{3}.
$$
Ratkaisu. Saadaan
\begin{equation*}
\begin{split}
\int_0^1x^2 dx&\stackrel{T_4}{\approx}
\frac{1}{4}\bigg(
\frac{1}{2}0^2
+(1/4)^2
+(2/4)^2
+(3/4)^2
\frac{1}{2}(4/4)^2
\bigg)\\
&=\frac{1\cdot 0^2+2\cdot 1^2+2\cdot 2^2+2\cdot 3^2+1\cdot 4^2}{4\cdot 2\cdot 4^2}\\
&=\frac{0+2+8+18+16}{4\cdot 2\cdot 4^2}
=\frac{44}{128}
=\frac{11}{32}.
\end{split}
\end{equation*}
Virhetarkastelu. Absoluuttinen virhe on
$$
\frac{11}{32}-\frac{1}{3}=0,01041
$$
ja suhteellinen virhe on
$$
\bigg(\frac{11}{32}-\frac{1}{3}\bigg):\frac{1}{3}=0,031=3,1\%.
$$
Puolisuunnikassääntö antoi siis hieman liian ison arvon. Piirtämällä kuva nähdään, että tämä on luonnollista. Sanallisesti sanottuna, koska \(x^2\) on välillä \([0,1]\) kasvava ja konveksi (kuvaajan pisteitä yhdistelevän murtoviivan alla), niin puolisuunnikasmenetelmä antaa liian suuren arvon.
Tehtävä. Laske integraalille
$$
\int_0^\pi\sin(x)dx
$$
likiarvo puolisuunnikasmenetelmällä \(P_4\). Laske absoluuttinen ja suhteellinen virhe.
VIITTEET
[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.