6. Integrointitekniikoita

6.6 Puolisuunnikas- ja keskipistemenetelmä

6.6.4 Keskipistemenetelmä

Lasketaan integraalille $$ \quad \int_0^1 x^2dx=\frac{1}{3} $$ likiarvo keskipistemenetelmällä \(M_4\). Jaetaan väli \([0,1]\) tasavälisesti jakopisteillä $$ 0\lt \frac{2}{8}\lt \frac{4}{8}\lt \frac{6}{8}\lt 1. $$ Jakopisteiden väliset keskipisteet (tulevat evaluaatiopisteet) ovat $$ \frac{1}{8}\lt \frac{3}{8}\lt \frac{5}{8}\lt \frac{7}{8}. $$ Saadaan \begin{equation*} \begin{split} \int_0^1 x^2dx &\stackrel{M_4}{\approx} \frac{1}{4}\bigg( (1/8)^2+ (3/8)^2+ (5/8)^2+ (7/8)^2. \bigg)\\ &=\frac{1}{4\cdot 8^2}(1^2+3^2+5^2+7^2)\\ &=\frac{1+9+25+49}{4\cdot 8^2} =\frac{84}{4\cdot 8^2}=\frac{21}{64}. \end{split} \end{equation*}
Virhetarkastelu. Absoluuttinen virhe on $$ \frac{21}{64}-\frac{1}{3} =-0,005208 $$ ja suhteellinen virhe on $$ \bigg(\frac{21}{64}-\frac{1}{3}\bigg):\frac{1}{3}=0,0156=1,56\%. $$
Tehtävä. Laske integraalille $$ \int_0^\pi\sin(x)dx $$ likiarvo keskipistemenetelmällä \(M_4\). Vinkki. Koska \(\pi/8\approx 0,3926\), voit ottaa jakopisteiksi $$ 0\lt 2\cdot 0,3926 \lt 4\cdot 0,3926 \lt 6\cdot 0,3926 \lt 1 $$ jolloin saat evaluaatiopisteiksi eli tägeksi $$ 1\cdot 0,3926 \lt 3\cdot 0,3926 \lt 5\cdot 0,3926 \lt 7\cdot 0,3926 $$ Laske absoluuttinen ja suhteellinen virhe.

VIITTEET

[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.