6. Integrointitekniikoita
6.6 Puolisuunnikas- ja keskipistemenetelmä
6.6.4 Keskipistemenetelmä
Lasketaan integraalille
$$
\quad \int_0^1 x^2dx=\frac{1}{3}
$$
likiarvo keskipistemenetelmällä \(M_4\). Jaetaan väli \([0,1]\) tasavälisesti jakopisteillä
$$
0\lt \frac{2}{8}\lt \frac{4}{8}\lt \frac{6}{8}\lt 1.
$$
Jakopisteiden väliset keskipisteet (tulevat evaluaatiopisteet) ovat
$$
\frac{1}{8}\lt \frac{3}{8}\lt \frac{5}{8}\lt \frac{7}{8}.
$$
Saadaan
\begin{equation*}
\begin{split}
\int_0^1 x^2dx
&\stackrel{M_4}{\approx}
\frac{1}{4}\bigg(
(1/8)^2+
(3/8)^2+
(5/8)^2+
(7/8)^2.
\bigg)\\
&=\frac{1}{4\cdot 8^2}(1^2+3^2+5^2+7^2)\\
&=\frac{1+9+25+49}{4\cdot 8^2}
=\frac{84}{4\cdot 8^2}=\frac{21}{64}.
\end{split}
\end{equation*}
Virhetarkastelu.
Absoluuttinen virhe on
$$
\frac{21}{64}-\frac{1}{3}
=-0,005208
$$
ja suhteellinen virhe on
$$
\bigg(\frac{21}{64}-\frac{1}{3}\bigg):\frac{1}{3}=0,0156=1,56\%.
$$
Tehtävä. Laske integraalille
$$
\int_0^\pi\sin(x)dx
$$
likiarvo keskipistemenetelmällä \(M_4\).
Vinkki. Koska \(\pi/8\approx 0,3926\), voit ottaa jakopisteiksi
$$
0\lt 2\cdot 0,3926
\lt 4\cdot 0,3926
\lt 6\cdot 0,3926
\lt 1
$$
jolloin saat evaluaatiopisteiksi eli tägeksi
$$
1\cdot 0,3926
\lt 3\cdot 0,3926
\lt 5\cdot 0,3926
\lt 7\cdot 0,3926
$$
Laske absoluuttinen ja suhteellinen virhe.
VIITTEET
[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.