6. Integrointitekniikoita

6.7 Simpsonin menetelmä

6.7.1 Simpsonin menetelmä, tilastollinen johto

Aiemmin laskettiin likiarvoa integraalille $$ I=\int_0^1 x^2dx=\frac{1}{3}. $$ Puolisuunnikasmenetelmä ja keskipistemenetelmä tuottivat tulokset \begin{equation*} \begin{split} T_4&=\frac{11}{32}=\frac{1}{3}+0,01041,\\ M_4&=\frac{21}{64}=\frac{1}{3}-0,00520. \end{split} \end{equation*}
Ahaa! Jos tehtäisiinkin temppu $$ \frac{1}{3}T_4+\frac{2}{3}M_4 =\frac{1}{3}+\bigg(\frac{1}{3}0,01041-\frac{2}{3}0,00520\bigg) \approx \frac{1}{3}, $$ niin saataisiin todella tarkka arvo. Mutta oliko tämä sattumaa? Piirtämällä kuva nähdään, että tulos on järkevä: $T_4\gt I\gt M_4$. Sanallisesti sanottuna, koska $f(x)=x^2$ on konveksi ($f''(x)\gt 0$) välillä $[0,1]$, niin ``kuvaaja on murtoviivan alla'' ja puolisuunnikasmenetelmä antaa arvion yläkanttiin. Lisäksi keskipistemenetelmän palkki jakaa kuvaajan kahteen osaan. Yläpuolelle jäävä pinta-ala on suurempi kuin alapuolelle jäävä, mistä johtuen keskipistemenetelmä antaa arvion alakanttiin. Jos taas $f$ olisi konkaavi (alaspäin kupera), niin tilanne olisi toisinpäin. Koska $f(x)=x^2$ on kasvava välillä $[0,1]$, niin VPM antaa arvion alakanttiin ja OPM yläkanttiin. Jos taas $f$ olisi vähenevä, niin tilanne olisi toisinpäin ja pätisi $M_4\lt I\lt T_4$. Integraaleja käsin laskeneet matemaatikot ovatkin sitten ajatelleet, että ehkäpä keskiarvo $$ \frac{T_n+M_n}{2} $$ olisi hyvä arvio.\\
Mutta! Todellakin absoluuttisia virheitä katsomalla nähdään, että $|T_4-I|=0,01041\approx 2\cdot 0,00520=|M_4-I|$. Siis johdetaankin uusi menetelmä painotettuna keskiarvona $$ S_n=\frac{T_n+2M_n}{3}. $$ Ainakin menetelmä on parempi kuin pelkkä $T_n$ tai $M_n$ siinä tapauksessa, että funktion derivaatta on kasvava/vähenevä (= funktio on konveksi tai konkaavi).

VIITTEET

[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.