6. Integrointitekniikoita

6.7 Simpsonin menetelmä

6.7.2 Simpsonin menetelmä, paraabelikonstruktio

Jaetaan väli \([a,b]\) tasavälisesti \(n\):ään osaväliin, \(n\) parillinen. Kahdella peräkkäisellä osavälillä \(f\):n kuvaajaa approksimoidaan paraabelilla.\\
Konstruktio. Olkoon \(f(-1)=A\), \(f(0)=B\) ja \(f(1)=C\). Asetetaan paraabeli \(p(x)=ax^2+bx+c\) pisteiden \((-1,A)\), \((0,B)\), \((1,C)\) kautta. Saadaan $$ p(0)=c=B. $$ Lisäksi $$ p(-1)-p(0)=a-b=A-B $$ ja $$ p(1)-p(0)=a+b=C-B. $$ Saadaan $$ a=\frac{(a-b)+(a+b)}{2}=\frac{A+C}{2}-B. $$ Samoin $$ b=\frac{(a+b)-(a-b)}{2}=\frac{C-A}{2}. $$ Saadaan \begin{equation*} \begin{split} \int_{-1}^1p(x)dx &=\int_{-1}^1ax^2+bx+cdx =a\int_{-1}^1x^2dx+b\int_{-1}^1xdx+c\int_{-1}^1dx\\ &=\frac{2}{3}a+c =\frac{2}{3}\bigg(\frac{A+C}{2}-B\bigg)+B\\ &=\frac{2}{3}\underbrace{\frac{A+C}{2}}_{\textrm{puolisuunnikas}}+\frac{1}{3}\underbrace{B}_{\textrm{keskipiste}} \end{split} \end{equation*} Paraabeliapproksimaatiolla saadaan siis Simpsonin menetelmä! Erityisesti, jos on annettuna paraabeli $$ p(x)=c(x-a)(b-x), $$ niin $$ \int_a^b p(x)dx=\frac{2}{3}(b-a)p\bigg(\frac{a+b}{2}\bigg) =\frac{4}{3}\frac{1}{2}(b-a)p\bigg(\frac{a+b}{2}\bigg). $$ Asian todisti ehkäpä ensimmäisenä Arkhimedes kirjansa ''Paraabelin neliöinnistä'' loppuhuipennuksena 300-luvulla e.a.a.

VIITTEET

[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.