6. Integrointitekniikoita
6.7 Simpsonin menetelmä
6.7.2 Simpsonin menetelmä, paraabelikonstruktio
Jaetaan väli \([a,b]\) tasavälisesti \(n\):ään osaväliin, \(n\) parillinen. Kahdella peräkkäisellä osavälillä \(f\):n kuvaajaa approksimoidaan paraabelilla.\\
Konstruktio. Olkoon
\(f(-1)=A\), \(f(0)=B\) ja \(f(1)=C\). Asetetaan paraabeli \(p(x)=ax^2+bx+c\) pisteiden \((-1,A)\), \((0,B)\), \((1,C)\) kautta. Saadaan
$$
p(0)=c=B.
$$
Lisäksi
$$
p(-1)-p(0)=a-b=A-B
$$
ja
$$
p(1)-p(0)=a+b=C-B.
$$
Saadaan
$$
a=\frac{(a-b)+(a+b)}{2}=\frac{A+C}{2}-B.
$$
Samoin
$$
b=\frac{(a+b)-(a-b)}{2}=\frac{C-A}{2}.
$$
Saadaan
\begin{equation*}
\begin{split}
\int_{-1}^1p(x)dx
&=\int_{-1}^1ax^2+bx+cdx
=a\int_{-1}^1x^2dx+b\int_{-1}^1xdx+c\int_{-1}^1dx\\
&=\frac{2}{3}a+c
=\frac{2}{3}\bigg(\frac{A+C}{2}-B\bigg)+B\\
&=\frac{2}{3}\underbrace{\frac{A+C}{2}}_{\textrm{puolisuunnikas}}+\frac{1}{3}\underbrace{B}_{\textrm{keskipiste}}
\end{split}
\end{equation*}
Paraabeliapproksimaatiolla saadaan siis Simpsonin menetelmä!
Erityisesti, jos on annettuna paraabeli
$$
p(x)=c(x-a)(b-x),
$$
niin
$$
\int_a^b p(x)dx=\frac{2}{3}(b-a)p\bigg(\frac{a+b}{2}\bigg)
=\frac{4}{3}\frac{1}{2}(b-a)p\bigg(\frac{a+b}{2}\bigg).
$$
Asian todisti ehkäpä ensimmäisenä Arkhimedes kirjansa ''Paraabelin neliöinnistä'' loppuhuipennuksena 300-luvulla e.a.a.
VIITTEET
[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.