6. Integrointitekniikoita

6.7 Simpsonin menetelmä

6.7.3 Bhaskaran approksimaatio

Siniä voidaan approksimoida paraabelilla $$ \sin(x)\approx p(x)=\frac{4x(\pi-x)}{\pi^2}. $$ Tarkistamalla nähdään, että \(p(0)=p(\pi)=0\) ja että \(p(\pi/2)=1\). Funktion \(p\) avulla saadaan arvio $$ \int_0^\pi\sin(x)dx=2 \approx \int_0^\pi p(x) =\frac{\pi}{2}\frac{1}{3}(0+4+0) =\frac{\pi}{3}\cdot 2\approx 2,094. $$ Siis keskimäärin \(p(x)\) saa hieman liian isoja arvoja. Approksimaatiosta saadaan tarkempi ottamalla funktion \(p\) nimittäjään jotain positiivista, esimerkiksi $$ \sin(x)\approx b(x)=\frac{4x(\pi-x)}{\pi^2+(x-\pi/2)^2}. $$ Funktion \(b\) avulla saadaan arvio $$ \int_0^\pi\sin(x)dx=2 \approx \int_0^\pi b(x) =\pi\bigg(\pi-4+\arctan\bigg(\frac{3116}{237}\bigg)\bigg)\approx 1,99955. $$ Siis keskimäärin \(\sin(x)\approx b(x)\) melko tarkasti. Funktiota $$ b(x)=\frac{4x(\pi-x)}{\pi^2+(x-\pi/2)^2} $$ kutsutaan Bhaskaran approksimaatioksi. Jos kulma on annettu asteina, lienee helpointa käyttää kaavaa $$ \sin\bigg(\frac{180}{\pi}x\bigg)=\frac{4x(180-x)}{40500-x(180-x)} =\frac{16x(180-x)}{5\cdot 180^2-4x(180-x)}. $$ Tasa-osille saadaan kaava $$ \sin\bigg(\frac{\pi}{n}\bigg) =\frac{16(n-1)}{5n^2-4n+4} =\frac{16(n-1)}{4+n(5n-4)}. $$
Tehtävä. Laske arvot $$ \sin\bigg(\frac{\pi}{n}\bigg),\quad n=2,3,4, $$ tarkkoina arvoina ja Bhaskaran approksimaatiolla.

VIITTEET

[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.