6. Integrointitekniikoita
6.7 Simpsonin menetelmä
6.7.3 Bhaskaran approksimaatio
Siniä voidaan approksimoida paraabelilla
$$
\sin(x)\approx p(x)=\frac{4x(\pi-x)}{\pi^2}.
$$
Tarkistamalla nähdään, että \(p(0)=p(\pi)=0\) ja että \(p(\pi/2)=1\). Funktion \(p\) avulla saadaan arvio
$$
\int_0^\pi\sin(x)dx=2
\approx \int_0^\pi p(x)
=\frac{\pi}{2}\frac{1}{3}(0+4+0)
=\frac{\pi}{3}\cdot 2\approx 2,094.
$$
Siis keskimäärin \(p(x)\) saa hieman liian isoja arvoja.
Approksimaatiosta saadaan tarkempi ottamalla funktion \(p\) nimittäjään jotain positiivista, esimerkiksi
$$
\sin(x)\approx b(x)=\frac{4x(\pi-x)}{\pi^2+(x-\pi/2)^2}.
$$
Funktion \(b\) avulla saadaan arvio
$$
\int_0^\pi\sin(x)dx=2
\approx \int_0^\pi b(x)
=\pi\bigg(\pi-4+\arctan\bigg(\frac{3116}{237}\bigg)\bigg)\approx 1,99955.
$$
Siis keskimäärin \(\sin(x)\approx b(x)\) melko tarkasti.
Funktiota
$$
b(x)=\frac{4x(\pi-x)}{\pi^2+(x-\pi/2)^2}
$$
kutsutaan Bhaskaran approksimaatioksi.
Jos kulma on annettu asteina, lienee helpointa käyttää kaavaa
$$
\sin\bigg(\frac{180}{\pi}x\bigg)=\frac{4x(180-x)}{40500-x(180-x)}
=\frac{16x(180-x)}{5\cdot 180^2-4x(180-x)}.
$$
Tasa-osille saadaan kaava
$$
\sin\bigg(\frac{\pi}{n}\bigg)
=\frac{16(n-1)}{5n^2-4n+4}
=\frac{16(n-1)}{4+n(5n-4)}.
$$
Tehtävä. Laske arvot
$$
\sin\bigg(\frac{\pi}{n}\bigg),\quad n=2,3,4,
$$
tarkkoina arvoina ja Bhaskaran approksimaatiolla.
VIITTEET
[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.