6. Integrointitekniikoita
6.8 Muita likimääräisiä integrointitapoja
6.8.1 Taylorin kaava
Esimerkki. Laske likiarvo integraalille
$$
\int_0^1 e^x=e^1-1\approx 1,71828
$$
Taylorin sarjan
$$
e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\ldots
$$
avulla.
Ratkaisu. Saadaan
$$
\int_0^1 e^x
\approx\bigg[x+x^2/2+x^3/6+x^4/24\bigg]_{x=0}^{x=1}
=1+1/2+1/6+1/24
\approx 1,7083.
$$
Esimerkki. Laske likiarvo integraalille
$$
\int_0^\pi\sin(x)dx=2
$$
käyttämällä Bhaskaran approksimaatiota
$$
\sin(x)=\frac{16x(\pi-x)}{5\pi^2-4x(\pi-x)},\quad 0\leq x\leq \pi.
$$
Numeerisessa laskennassa usein yhdistetään eri menetelmiä. Sinin arvoja voidaan laskea Bhaskara I:n approksimaatiolla
$$
\sin\bigg(\frac{180}{\pi}x\bigg)=\frac{4x(180-x)}{40500-x(180-x)}
=\frac{16x(180-x)}{5\cdot 180^2-4x(180-x)}.
$$
Tämä voidaan sieventää muotoon
$$
\sin(x)=\frac{16x(\pi-x)}{5\pi^2-4x(\pi-x)}.
$$
Saadaan
$$
\sin\bigg(\frac{\pi}{n}\bigg)
=\frac{16(n-1)}{5n^2-4n+4}
=\frac{16(n-1)}{4+n(5n-4)}.
$$
Tehtävä. Laske arvot
$$
\sin\bigg(\frac{\pi}{n}\bigg),\quad n=2,3,4,
$$
tarkkoina arvoina ja Bhaskaran approksimaatiolla.
VIITTEET
[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.