6. Integrointitekniikoita

6.8 Muita likimääräisiä integrointitapoja

6.8.1 Taylorin kaava


Esimerkki. Laske likiarvo integraalille $$ \int_0^1 e^x=e^1-1\approx 1,71828 $$ Taylorin sarjan $$ e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\ldots $$ avulla.
Ratkaisu. Saadaan $$ \int_0^1 e^x \approx\bigg[x+x^2/2+x^3/6+x^4/24\bigg]_{x=0}^{x=1} =1+1/2+1/6+1/24 \approx 1,7083. $$
Esimerkki. Laske likiarvo integraalille $$ \int_0^\pi\sin(x)dx=2 $$ käyttämällä Bhaskaran approksimaatiota $$ \sin(x)=\frac{16x(\pi-x)}{5\pi^2-4x(\pi-x)},\quad 0\leq x\leq \pi. $$ Numeerisessa laskennassa usein yhdistetään eri menetelmiä. Sinin arvoja voidaan laskea Bhaskara I:n approksimaatiolla $$ \sin\bigg(\frac{180}{\pi}x\bigg)=\frac{4x(180-x)}{40500-x(180-x)} =\frac{16x(180-x)}{5\cdot 180^2-4x(180-x)}. $$ Tämä voidaan sieventää muotoon $$ \sin(x)=\frac{16x(\pi-x)}{5\pi^2-4x(\pi-x)}. $$ Saadaan $$ \sin\bigg(\frac{\pi}{n}\bigg) =\frac{16(n-1)}{5n^2-4n+4} =\frac{16(n-1)}{4+n(5n-4)}. $$
Tehtävä. Laske arvot $$ \sin\bigg(\frac{\pi}{n}\bigg),\quad n=2,3,4, $$ tarkkoina arvoina ja Bhaskaran approksimaatiolla.

VIITTEET

[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.