6. Integrointitekniikoita

6.8 Muita likimääräisiä integrointitapoja

6.8.2 Rombergin menetelmä

Oletetaan, että $f$ on $2m+2$ kertaa jatkuvasti derivoituva. Tällöin Taylorin kaavan avulla voidaan osoittaa, että jos $$ I=\int_a^bf(x)dx $$ niin $$ E_n=I-T_n=\frac{C_1}{n^2}+\frac{C_2}{n^4} +\frac{C_3}{n^6}+\ldots+\frac{C_m}{n^{2m}} +O\bigg(\frac{1}{n^{2m+2}}\bigg), $$ eräille vakioille $C_k$. Näin ollen voidaan johtaa uusia integrointimenetelmiä hieman samaan tapaan kuin aiemmin: $$ T=\frac{L+R}{2},\quad S=\frac{T+2M}{3}. $$ Lopputuloksena saadaan niinsanotut Rombergin approksimaatiot $R_n$. Integrointi tietokoneella perustu Rombergin approksimaatioihin. Rombergin menetelmä voidaan johtaa myös niinsanotulla Richardsonin ekstrapolaatiolla, jonka ''merkitystä käytännön laskemiselle ei voida liikaa korostaa''. https://en.wikipedia.org/wiki/Richardson_extrapolation

VIITTEET

[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.