7. Integroinnin sovelluksia

7.1 Siivuttaminen ja pyörähdyskappaleet

7.1.1 Tilavuus siivuttamalla

Olkoon $S$ $xyz$-koordinaatistossa oleva kappale $x$-akselia vastaan kohtisuorien tasojen välissä. $A(x)$ on poikkileikkauksen $$ S\cap \{(\alpha,\beta,\gamma)\in\mathbb{R}^2\,;\, \alpha=x\} $$ pinta-ala kohdassa $x\in[a,b]$. Oletetaan, että pinta-ala $A$ on jatkuva funktio välillä $[a,b]$. Olkoon $P_n=\{x_0,x_1,\ldots,x_n\}$ välin $[a,b]$ jako. Jaetaan kappale $S$ $n$:ään ``siivuun'' jaon $P_n$ mukaan. Välillä $[x_{j-1},x_j]$ olevan siivun tilavuus $\Delta V_j$ on likimäärin $A(x_j)\Delta x_j$. Kappaleen $S$ tilavuus on $$ V=\sum_{j=1}^n\Delta V_j\approx \sum_{j=1}^n A(x_j)\Delta x_j. $$ Annetaan $n\to\infty$ siten, että $\max\Delta x_j\to 0$, jolloin $$ \underbrace{\sum_{j=1}^n A(x_j)\Delta x_j}_{\textrm{Riemannin summa}}\longrightarrow \int_a^b A(x)dx. $$ Siis saadaan $$ V=\int_a^b A(x)dx. $$
Esimerkki. Tarkastellaan kartiota, jonka korkeus on $h$ ja pohjan ala $A$. Olkoon $A(x)$ poikkileikkauksen ala kohdassa $x$. Yhdenmuotoisuuden perusteella $$ \frac{A(x)}{A}=\bigg(\frac{x}{h}\bigg)^2 \Rightarrow A(x)=\frac{A}{h^2}x^2. $$ Siis kartion tilavuus on $$ V=\int_0^h A(x)dx =\frac{A}{h^2}\int_0^hx^2dx =\frac{A}{h^2}\bigg(\frac{h^3}{3}-0\bigg). $$ Siis $$ V=\frac{Ah}{3}. $$
Tehtävä. Kuinka voit jakaa kuution kolmeksi tilavuudeltaan yhtä suureksi kartioksi? Piirrä kuva.

VIITTEET

[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.