7. Integroinnin sovelluksia

7.1 Siivuttaminen ja pyörähdyskappaleet

7.1.2 Pyörähdyskappaleen tilavuus

Olkoon $R$ käyrän $y=f(x)$ ja $x$-akselin väliin jäävä alue välillä $[a,b]$. Alue $R$ pyörähtää $x$-akselin ympäri, jolloin muodostuu kolmiulotteinen kappale. Kohdassa $x\in[a,b]$ poikkileikkauksen pinta-ala on $$ A(x)=\pi|f(x)|^2=\pi f(x)^2. $$ Pyörähdyskappaleen tilavuus on siis siivutusmenetelmän perusteella $$ V=\pi\int_a^bf(x)^2dx. $$
Esimerkki. Lasketaan $r$-säteisen pallon tilavuus. Pallo muodostuu, kun käyrän $y=\sqrt{r^2-x^2$ (määritelty välillä $[-r,r]$) ja $x$-akselin rajaama alue pyörähtää $x$-akselin ympäri. Saadaan \begin{equation*} \begin{split} V &=\pi\int_{-r}^r\sqrt{r^2-x^2}^2dx\\ &=\pi\int_{-r}^r(r^2-x^2)dx\\ &=2\pi\int_0^r(r^2-x^2)dx\\ &=2\pi\bigg[rx^2-\frac{x^3}{3}\bigg]_{x=0}^r\\ &=\frac{4\pi r^3}{3}. \end{split} \end{equation*}

VIITTEET

[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.