7. Integroinnin sovelluksia

7.1 Tilavuus siivuttamalla ja pyörähdyskappaleet

7.1.3 Pyörähdyskappaleen tilavuus

Käyrä voi pyörähtää myös \(y\)-akselin ympäri.
Esimerkki. Käyrän \(y=x^2\), \(y\)-akselin ja suoran \(y=h\) rajaama alue pyörähtää \(y\)-akselin ympäri. Laske tilavuus.
Ratkaisu. Kun \(x\geq 0\) on $$ y=x^2\quad \Longleftrightarrow x=\sqrt{y}. $$ Merkitään \(f(y)=\sqrt{y}\), jolloin kysytty tilavuus on \begin{equation*} \begin{split} V &=\pi\int_0^h f(y)^2dy\\ &=\pi\int_0^h ydy\\ &=2\pi\bigg[y^2/2\bigg]_{y=0}^h\\ &=\frac{\pi h^2}{2}. \end{split} \end{equation*} Siis tilavuus on puolet vastaavan lieriön tilavuudesta.

VIITTEET

[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.