Processing math: 100%

7. Integroinnin sovelluksia

7.1 Tilavuus siivuttamalla ja pyörähdyskappaleet

7.1.3 Pyörähdyskappaleen tilavuus

Käyrä voi pyörähtää myös

$y$ -akselin ympäri.
Esimerkki. Käyrän

$y=x^2$ ,

$y$ -akselin ja suoran

$y=h$ rajaama alue pyörähtää

$y$ -akselin ympäri. Laske tilavuus.
Ratkaisu. Kun

$x\geq 0$ on

$y=x^2\quad \Longleftrightarrow x=\sqrt{y}.$ Merkitään

$f(y)=\sqrt{y}$ , jolloin kysytty tilavuus on

$\begin{equation*} \begin{split} V &=\pi\int_0^h f(y)^2dy\\ &=\pi\int_0^h ydy\\ &=2\pi\bigg[y^2/2\bigg]_{y=0}^h\\ &=\frac{\pi h^2}{2}. \end{split} \end{equation*}$ Siis tilavuus on puolet vastaavan lieriön tilavuudesta.

VIITTEET

[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.