7. Integroinnin sovelluksia
7.1 Tilavuus siivuttamalla ja pyörähdyskappaleet
7.1.3 Pyörähdyskappaleen tilavuus
Käyrä voi pyörähtää myös \(y\)-akselin ympäri.
Esimerkki. Käyrän \(y=x^2\), \(y\)-akselin ja suoran \(y=h\) rajaama alue pyörähtää \(y\)-akselin ympäri. Laske tilavuus.
Ratkaisu. Kun \(x\geq 0\) on
$$
y=x^2\quad \Longleftrightarrow x=\sqrt{y}.
$$
Merkitään \(f(y)=\sqrt{y}\), jolloin kysytty tilavuus on
\begin{equation*}
\begin{split}
V
&=\pi\int_0^h f(y)^2dy\\
&=\pi\int_0^h ydy\\
&=2\pi\bigg[y^2/2\bigg]_{y=0}^h\\
&=\frac{\pi h^2}{2}.
\end{split}
\end{equation*}
Siis tilavuus on puolet vastaavan lieriön tilavuudesta.
VIITTEET
[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.