7. Integroinnin sovelluksia
7.1 Tilavuus siivuttamalla ja pyörähdyskappaleet
7.1.4 Gabrielin torvi
Tarkastellaan pari haastavampaa esimerkkiä.
Esimerkki.
Gabrielin torvi muodostuu, kun käyrä \(y=\frac{1}{x\) pyörähtää \(x\)-akselin ympäri välillä \([1,\infty)\). Tilavuus
\begin{equation*}
\begin{split}
V
&=\pi\int_0^\infty\bigg(\frac{1}{x}\bigg)^2dx
=\pi\lim_{R\to\infty}\int_1^Rx^{-2}dx\\
&=\pi\lim_{R\to\infty}\bigg[-x^{-1}\bigg]_{x=1}^R
=\pi\lim_{R\to\infty}\bigg(\underbrace{-\frac{1}{R}}_{\to 0}+1\bigg)\frac{\pi h^2}{2}=\pi.
\end{split}
\end{equation*}
Torven pinta-alalle \(A\) saadaan
$$
A\gt \int_1^\infty\frac{1}{x}dx=\infty.
$$
Mikä on nopein tapa maalata Gabrielin torvi?
VIITTEET
[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.