7. Integroinnin sovelluksia

7.1 Tilavuus siivuttamalla ja pyörähdyskappaleet

7.1.4 Gabrielin torvi

Tarkastellaan pari haastavampaa esimerkkiä.
Esimerkki. Gabrielin torvi muodostuu, kun käyrä \(y=\frac{1}{x\) pyörähtää \(x\)-akselin ympäri välillä \([1,\infty)\). Tilavuus \begin{equation*} \begin{split} V &=\pi\int_0^\infty\bigg(\frac{1}{x}\bigg)^2dx =\pi\lim_{R\to\infty}\int_1^Rx^{-2}dx\\ &=\pi\lim_{R\to\infty}\bigg[-x^{-1}\bigg]_{x=1}^R =\pi\lim_{R\to\infty}\bigg(\underbrace{-\frac{1}{R}}_{\to 0}+1\bigg)\frac{\pi h^2}{2}=\pi. \end{split} \end{equation*} Torven pinta-alalle \(A\) saadaan $$ A\gt \int_1^\infty\frac{1}{x}dx=\infty. $$ Mikä on nopein tapa maalata Gabrielin torvi?

VIITTEET

[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.