7. Integroinnin sovelluksia
7.1 Tilavuus siivuttamalla ja pyörähdyskappaleet
7.1.5 Toruksen tilavuus
Esimerkki. Lasketaan ympyrätoruksen tilavuus. (Vertaa kirjan sivuun 397.)
Torus muodostuu, kun ympyrä \(x^2+(y-b)^2=a^2\) pyörähtää \(x\)-akselin ympäri. Ympyrän yläosa on
$$
y=b+\sqrt{a^2-x^2}.
$$
Ympyrän alaosa on
$$
y=b-\sqrt{a^2-x^2}.
$$
Ylemmän puoliympyrän pyörähdyskappaleen tilavuus
\begin{equation*}
\begin{split}
V_1&=\pi\int_{-a}^a(b+\sqrt{a^2-x^2})^2dx\\
&\pi\int_{-a}^a(b^2+2b\sqrt{a^2-x^2}+a^2-x^2)dx.
\end{split}
\end{equation*}
Alemman puoliympyrän pyörähdyskappaleen tilavuus
\begin{equation*}
\begin{split}
V_2&=\pi\int_{-a}^a(b+\sqrt{a^2-x^2})^2dx\\
&\pi\int_{-a}^a(b^2-2b\sqrt{a^2-x^2}+a^2-x^2)dx.
\end{split}
\end{equation*}
Toruksen tilavuus on
\begin{equation*}
\begin{split}
V=V_1-V_2&=\pi\cdot 4b\underbrace{\int_{-a}^a\sqrt{a^2-x^2}dx}_{a\textrm{-säteisen puoliympyrän ala}}
=4\pi b\cdot \frac{\pi a^2}{2}\\
&=2\pi^2a^2b.
\end{split}
\end{equation*}
VIITTEET
[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.