7. Integroinnin sovelluksia

7.1 Tilavuus siivuttamalla ja pyörähdyskappaleet

7.1.5 Toruksen tilavuus


Esimerkki. Lasketaan ympyrätoruksen tilavuus. (Vertaa kirjan sivuun 397.) Torus muodostuu, kun ympyrä \(x^2+(y-b)^2=a^2\) pyörähtää \(x\)-akselin ympäri. Ympyrän yläosa on $$ y=b+\sqrt{a^2-x^2}. $$ Ympyrän alaosa on $$ y=b-\sqrt{a^2-x^2}. $$ Ylemmän puoliympyrän pyörähdyskappaleen tilavuus \begin{equation*} \begin{split} V_1&=\pi\int_{-a}^a(b+\sqrt{a^2-x^2})^2dx\\ &\pi\int_{-a}^a(b^2+2b\sqrt{a^2-x^2}+a^2-x^2)dx. \end{split} \end{equation*} Alemman puoliympyrän pyörähdyskappaleen tilavuus \begin{equation*} \begin{split} V_2&=\pi\int_{-a}^a(b+\sqrt{a^2-x^2})^2dx\\ &\pi\int_{-a}^a(b^2-2b\sqrt{a^2-x^2}+a^2-x^2)dx. \end{split} \end{equation*} Toruksen tilavuus on \begin{equation*} \begin{split} V=V_1-V_2&=\pi\cdot 4b\underbrace{\int_{-a}^a\sqrt{a^2-x^2}dx}_{a\textrm{-säteisen puoliympyrän ala}} =4\pi b\cdot \frac{\pi a^2}{2}\\ &=2\pi^2a^2b. \end{split} \end{equation*}

VIITTEET

[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.