7. Integroinnin sovelluksia

7.3 Käyrän pituus ja pinnan ala

7.3.1 Funktion kuvaajakäyrän pituus

Olkoon \(f\) välillä \([a,b]\) määritelty funktio, jolle \(f'\) on jatkuva. Olkoon \(P_n=\{x_0,x_1,\ldots,x_n\}\) välin \([a,b]\) jako. Merkitään \(P_i=(x_i,f(x_i))\). Pisteiden \(P_{i-1}\) ja \(P_i\) välisen janan pituus on $$ |P_{i-1}-P_i|=\sqrt{(x_i-x_{i-1})^2+(f(x_i)-f(x_{i-1}))^2}. $$ Merkitään \(\Delta x_i=x_i-x_{i-1}\), jolloin $$ |P_{i-1}-P_i|=\sqrt{1+\underbrace{\bigg(\frac{f(x_i)-f(x_{i-1})}{x_i-x_{i-1}}\bigg)^2}_{\approx f'(x_i)^2}}\cdot \Delta x_i. $$ Kuvaajan pituudelle \(S\) saadaan approksimaatio murtoviivan pituuden avulla $$ S\approx \sum_{i=1}^n|P_{i-1}-P_i| \approx \sum_{i=1}^n\sqrt{1+f'(x_i)^2}\Delta x_i. $$ Kun \(n\to\infty\) siten että \(\max\Delta x_i\to 0\), saadaan $$ S=\int_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}dx. $$ Merkitsemällä \(y=f(x)\) saadaan $$ S=\int_a^b\sqrt{1+\bigg(\frac{dy}{dx}\bigg)^2}dx. $$ Yleensä käyrän pituutta ei voi laskea analyyttisesti. Joissakin satunnaisissa tilanteissa myös analyyttinen ratkaisu löytyy. (``Ei täällä ruveta noita yli kolmannen asteen polynomeja, joissa on valmiiksi nauretut kertoimet, ratkomaan.'' \texttt{http://www.students.tut.fi/~funktio/armo.html})
Esimerkki. Laske käyrän $$ y=x^4+\frac{1}{32x^2} $$ pituus välillä \([1,2]\).
Ratkaisu. Nyt $$ \frac{dy}{dx}=4x^3-\frac{1}{16x^3}, $$ joten \begin{equation*} \begin{split} 1+\bigg(\frac{dy}{dx}\bigg)^2 &=1+\bigg(4x^3-\frac{1}{16x^3}\bigg)^2\\ &1+(4x^3)^2-\frac{1}{2}+\bigg(\frac{1}{16x^3}\bigg)^2\\ &=(4x^3)^2+\frac{1}{2}+\bigg(\frac{1}{16x^3}\bigg)^2\\ &=\bigg(4x^3+\frac{1}{16x^3}\bigg)^2 \end{split} \end{equation*} Siis $$ S=\int_1^2 4x^3+\frac{1}{16x^3}dx =\bigg[x^4-\frac{1}{32x^2}\bigg]_{x=1}^2 =\frac{1923}{128}\approx 15.0234. $$

VIITTEET

[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.