7. Integroinnin sovelluksia
7.3 Käyrän pituus ja pinnan ala
7.3.2 Kartion pinnan ala
Tarkastellaan ympyräkartiota, jonka pohjan säde on \(r\) ja vaipan leveys pohjalta kärkeen on \(s\). Leikkaamalla kartio auki nähdään, että vaippa on ympyräsektori. Olkoon keskuskulma \(\theta\). Vaipan ala
$$
A=\frac{\theta}{2\pi}\cdot \pi s^2=\frac{s^2}{2}\cdot\theta=\frac{s^2}{2}\frac{2\pi r}{s}=\pi rs.
$$
Jos kartio leikataan ohuiksi kolmiomaisiksi suikaleiksi aloittaen kartion kärjestä, väite on ilmeinen.
Tarkastellaan katkaistua kartiota, jossa pohjan säde on \(r_2\) ja huipun säde on \(r_1\), sekä vaipan korkeus on \(s\). Alaksi saadaan
$$
\pi r_ 2(s_1+s)-\pi r_1s_1
=\pi ((r_2-r_1)s_1+r_2s).
$$
Yhdenmuotoisuuden perusteella
$$
\frac{s_1}{s_1+s_2}=\frac{r_1}{r_2},
$$
joten
$$
(r_2-r_1)=r_1s.
$$
Katkaistun kartion vaipan alaksi saadaan
$$
A=\pi (r_1s+r_2s)=2\pi rs,
$$
missä
$$
r=\frac{1}{2}(r_1+r_2).
$$
Jos \(r_1=r\) ja \(r_2=0\), saadaan kartion vaipan ala. Jos \(r_1=r_2=2\), saadaan lieriön vaipan ala.
Tehtävä. Leikkaa kuutio kolmeksi kartioksi. Mikä on kartioiden vaippojen alojen kokonaissumma (pohjat mukaan lukien)?
VIITTEET
[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.