7. Integroinnin sovelluksia

7.3 Käyrän pituus ja pinnan ala

7.3.3 Pyörähdyskappaleen pinnan ala

Pyöräytetään kuvaajaa \(y=f(x)\) \(x\)-akselin ympäri välillä \([a,b]\). Välin jako \(P_n=\{x_0,x_1,\ldots,x_n\}\). Välillä \([x_{i-1},x_i]\) vaipan ala on likimäärin katkaistun kartion vaipan ala $$ 2\pi r_is_i, $$ missä \(r_i\approx |f(x_i)|\) ja \(s_i\approx\sqrt{1+f'(x_i)^2}\Delta x_i\), \(\Delta x_i=x_i-x_{i-1}\). Siis koko pyörähdyskappaleen pinnan ala on $$ A\approx 2\pi\sum_{i=1}^n |f(x_i)|\sqrt{1+f'(x_i)^2}\Delta x_i. $$ Kun \(n\to\infty\) siten, että \(\max\Delta x_i\to 0\), saadaan $$ A=2\pi\int_a^b|f(x)|\sqrt{1+f'(x)^2}dx. $$
Esimerkki. Lasketaan \(r\)-säteisen pallon pinta-ala. Pallo muodostuu, kun käyrä \(y=\sqrt{r^2-x^2\) pyörähtää \(x\)-akselin ympäri välillä \([-r,r]\). Merkitään $$ f(x)=\sqrt{r^2-x^2},\quad \textrm{jolloin}\quad f'(x)=-\frac{x}{\sqrt{r^2-x^2}}. $$ Pinta-ala on \begin{equation*} \begin{split} A&=2\pi\int_{-r}^r|f(x)|\sqrt{1+f'(x)^2}dx\\ &=4\pi\int_0^r\sqrt{r^2-x^2}\sqrt{1+\frac{x^2}{r^2-x^2}}dx\\ &=4\pi\int_0^r\sqrt{r^2-x^2+x^2}dx\\ &=4\pi\int_0^r rdx\\ &=4\pi r^2. \end{split} \end{equation*}
Esimerkki. Aiemmin johdettiin \(s\)-säteisen pallon pinta-alalle kaava $$ 4\pi s^2. $$ Jaetaan \(r\)-säteinen pallo pallokuoriin. Tällöin \(r_i\)-säteisen \(\Delta r_i\)-paksuisen pallokuoren tilavuus on $$ V_i\approx 4\pi r_i^2\Delta r_i. $$ Siis $$ V=\sum_{i=1}^n V_i\approx 4\pi\sum_{i=1}^n r_i^2\Delta r_i. $$ Kun \(n\to\infty\) siten, että \(\max\Delta r_i\to 0\), niin saadaan $$ V=4\pi\int_0^r s^2ds=4\pi\bigg[\frac{s^3}{3}\bigg]_{s=0}^r. $$

VIITTEET

[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.