7. Integroinnin sovelluksia
7.3 Käyrän pituus ja pinnan ala
7.3.3 Pyörähdyskappaleen pinnan ala
Pyöräytetään kuvaajaa \(y=f(x)\) \(x\)-akselin ympäri välillä \([a,b]\). Välin jako \(P_n=\{x_0,x_1,\ldots,x_n\}\). Välillä \([x_{i-1},x_i]\) vaipan ala on likimäärin katkaistun kartion vaipan ala
$$
2\pi r_is_i,
$$
missä \(r_i\approx |f(x_i)|\) ja \(s_i\approx\sqrt{1+f'(x_i)^2}\Delta x_i\), \(\Delta x_i=x_i-x_{i-1}\). Siis koko pyörähdyskappaleen pinnan ala on
$$
A\approx 2\pi\sum_{i=1}^n |f(x_i)|\sqrt{1+f'(x_i)^2}\Delta x_i.
$$
Kun \(n\to\infty\) siten, että \(\max\Delta x_i\to 0\), saadaan
$$
A=2\pi\int_a^b|f(x)|\sqrt{1+f'(x)^2}dx.
$$
Esimerkki. Lasketaan \(r\)-säteisen pallon pinta-ala. Pallo muodostuu, kun käyrä \(y=\sqrt{r^2-x^2\) pyörähtää \(x\)-akselin ympäri välillä \([-r,r]\). Merkitään
$$
f(x)=\sqrt{r^2-x^2},\quad
\textrm{jolloin}\quad
f'(x)=-\frac{x}{\sqrt{r^2-x^2}}.
$$
Pinta-ala on
\begin{equation*}
\begin{split}
A&=2\pi\int_{-r}^r|f(x)|\sqrt{1+f'(x)^2}dx\\
&=4\pi\int_0^r\sqrt{r^2-x^2}\sqrt{1+\frac{x^2}{r^2-x^2}}dx\\
&=4\pi\int_0^r\sqrt{r^2-x^2+x^2}dx\\
&=4\pi\int_0^r rdx\\
&=4\pi r^2.
\end{split}
\end{equation*}
Esimerkki. Aiemmin johdettiin \(s\)-säteisen pallon pinta-alalle kaava
$$
4\pi s^2.
$$
Jaetaan \(r\)-säteinen pallo pallokuoriin. Tällöin \(r_i\)-säteisen \(\Delta r_i\)-paksuisen pallokuoren tilavuus on
$$
V_i\approx 4\pi r_i^2\Delta r_i.
$$
Siis
$$
V=\sum_{i=1}^n V_i\approx 4\pi\sum_{i=1}^n r_i^2\Delta r_i.
$$
Kun \(n\to\infty\) siten, että \(\max\Delta r_i\to 0\), niin saadaan
$$
V=4\pi\int_0^r s^2ds=4\pi\bigg[\frac{s^3}{3}\bigg]_{s=0}^r.
$$
VIITTEET
[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.