7. Integroinnin sovelluksia

7.4 Massakeskipiste

7.4.1 Massakeskipisteen laskukaavat

Tarkastellaan käyrän $$ y=f(x),\quad a\leq x\leq b, $$ ja $x$-akselin väliin jäävää aluetta. Alueen massakeskipiste voidaan laskea kaavoilla $$ \bar{x}=\frac{M_x}{A},\quad \bar{y}=\frac{M_y}{A}, $$ missä $$ A=\int_a^b f(x)dx,\quad M_x=\int_a^b xf(x)dx,\quad M_y=\frac{1}{2}\int_a^b (f(x))^2dx $$
Esimerkki. Tarkastellaan puoliympyrää $$ y=f(x)=\sqrt{r^2-x^2}. $$ Nyt $$ A=\frac{\pi r^2}{2}. $$ Symmetrian perusteella $M_x=0$. Tämä näkyy myös integraalista, jonka integrandi on pariton funktio $$ M_x=\int_{-r}^r x\sqrt{r^2-x^2}dx =-\int_0^{-r}x\sqrt{r^2-x^2}dx +\int_0^r x\sqrt{r^2-x^2}dx =0. $$ Saadaan $$ M_y=\frac{1}{2}\int_{-r}^r (r^2-x^2)dx =\int_0^r (r^2-x^2)dx =r^3-\frac{r^3}{3} =\frac{2}{3}r^3. $$ Siis $$ \bar{x}=0,\quad \bar{y}=\frac{2}{\pi r^2}\frac{2}{3}r^3 =\frac{4r}{3\pi}\approx 0.42r. $$ Kuvan perusteella tulos on järkevä.

VIITTEET

[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.