7. Integroinnin sovelluksia
7.4 Massakeskipiste
7.4.3 Pappuksen lause
Olkoon \(R\) tasoalue ja suora \(L\) samassa tasossa niin, että \(R\) ja \(L\) eivät leikkaa. Kun alue \(R\) pyörähtää suoran \(L\) suhteen, syntyy pyörähdyskappale (tai osa sellaisesta). Tällöin
(a) Pyörähdyskappaleen tilavuudelle saadaan
$$
V=2\pi\bar{r}A.
$$
(b) Pyörähdyskappaleen pinta-alalle saadaan
$$
S=2\pi\bar{r}s.
$$
Kaavoissa \(\bar{r}\) on massakeskipisteen etäisyys suorasta \(L\); \(A\) on alueen \(R\) pinta-ala ja \(s\) on alueen \(R\) reunan pituus.
Esimerkki. Puoliympyrä, jota rajaa \(y(x)=\sqrt{r^2-x^2\) pyörähtää \(x\)-akselin ympäri täyden kierroksen, jolloin syntyy pallo. Aiemmin laskettiin, että painopiste on \((0,4r/3\pi)\).
(a) Tilavuudelle saadaan
$$
V=2\pi\cdot\frac{4r}{3\pi}\cdot\frac{\pi r^2}{2}
$$
(b) Pallon pinta-alalle saadaan
$$
S=2\pi\bar{r}\cdot\pi r=2\pi^2 r\bar{r}=4\pi r^2.
$$
Siis
$$
\bar{r}=\frac{4\pi r^2}{2\pi^2r}=\frac{2}{\pi}r\approx 0.637r.
$$
Kuvan perusteella vastaus tuntuu järkevältä.
Tehtävä. Laske toruksen tilavuus ja pinta-ala Pappuksen lauseen avulla.
VIITTEET
[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.