7. Integroinnin sovelluksia

7.7 Eksponentiaalinen kasvu

7.7.1 Väkilukuesimerkki


Esimerkki. Vuonna 2019 maailman väkiluku oli 7,7 miljardia ihmistä ja väkiluvun vuotuinen kasvu oli 1,06~\%. Milloin maailmassa on kaksinkertainen eli 15,4 miljardia ihmistä?
Lyhyt ratkaisu nyrkkisäännön avulla. Kasvu on 1,06~\% ja kysyttiin kaksinkertaistumiseen kuluvaa aikaa. Siis aikaa tarvitaan suurinpiirtein $$ \frac{70}{1,06}\approx 66 $$ vuotta. Siis vuonna 2085 maailmassa on 15,4 miljardia ihmistä.
Perusteltu ratkaisu. Siis joka vuosi väkiluku kasvaa kertoimella \(a=1+0,0106=1,0106\). Etsitään lukua \(k\), jolle $$ 7,7\cdot 10^9\cdot a^k=15,4\cdot 10^9 $$ eli jolle $$ a^k=2. $$ Ottamalla puolittain logaritmi saadaan $$ k\ln(a)=\ln(2),\quad k=\frac{\ln(2)}{\ln(a)}\approx 65,74. $$ Siis vuonna 2085.
Nyrkkisäännön johto. Luku \(a\) on muotoa $$ a=1+\frac{b}{100},\quad b=1,0106. $$ Näin ollen sarjakehitelmän $$ \ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\ldots=\sum_{k=1}^\infty(-1)^{k+1}\frac{x^k}{k},\quad x\in(-1,1) $$ perusteella $$ \ln(a)= \ln\bigg(1+\frac{b}{100}\bigg) \approx\frac{b}{100}. $$ Toisaalta \(\ln(2)\approx 0,7\). Siis $$ k=\frac{\ln(2)}{\ln(a)}=\frac{0.7}{b/100} =\frac{70}{b}=\frac{70}{1,0106}\approx 65,74. $$ Näin ollen, jos prosentuaalinen kasvu \(b~\%\) on pieni, niin kaksinkertaistumiseen tarvittava aika saadaan kaavalla $$ k\approx\frac{70}{b}. $$

VIITTEET

[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.