7. Integroinnin sovelluksia
7.7 Eksponentiaalinen kasvu
7.7.1 Väkilukuesimerkki
Esimerkki. Vuonna 2019 maailman väkiluku oli 7,7 miljardia ihmistä ja väkiluvun vuotuinen kasvu oli 1,06~\%. Milloin maailmassa on kaksinkertainen eli 15,4 miljardia ihmistä?
Lyhyt ratkaisu nyrkkisäännön avulla. Kasvu on 1,06~\% ja kysyttiin kaksinkertaistumiseen kuluvaa aikaa. Siis aikaa tarvitaan suurinpiirtein
$$
\frac{70}{1,06}\approx 66
$$
vuotta. Siis vuonna 2085 maailmassa on 15,4 miljardia ihmistä.
Perusteltu ratkaisu. Siis joka vuosi väkiluku kasvaa kertoimella \(a=1+0,0106=1,0106\). Etsitään lukua \(k\), jolle
$$
7,7\cdot 10^9\cdot a^k=15,4\cdot 10^9
$$
eli jolle
$$
a^k=2.
$$
Ottamalla puolittain logaritmi saadaan
$$
k\ln(a)=\ln(2),\quad
k=\frac{\ln(2)}{\ln(a)}\approx 65,74.
$$
Siis vuonna 2085.
Nyrkkisäännön johto. Luku \(a\) on muotoa
$$
a=1+\frac{b}{100},\quad b=1,0106.
$$
Näin ollen sarjakehitelmän
$$
\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\ldots=\sum_{k=1}^\infty(-1)^{k+1}\frac{x^k}{k},\quad x\in(-1,1)
$$
perusteella
$$
\ln(a)= \ln\bigg(1+\frac{b}{100}\bigg)
\approx\frac{b}{100}.
$$
Toisaalta \(\ln(2)\approx 0,7\). Siis
$$
k=\frac{\ln(2)}{\ln(a)}=\frac{0.7}{b/100}
=\frac{70}{b}=\frac{70}{1,0106}\approx 65,74.
$$
Näin ollen, jos prosentuaalinen kasvu \(b~\%\) on pieni, niin kaksinkertaistumiseen tarvittava aika saadaan kaavalla
$$
k\approx\frac{70}{b}.
$$
VIITTEET
[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.