7. Integroinnin sovelluksia

7.9 1-kertaluvun differentiaaliyhtälöt

7.9.1 Differentiaaliyhtälö

Differentiaaliyhtälö (DY) on yhtälö, jossa esiintyy tuntematon funktio $y$ ja sen derivaattoja (kirjan sivut 151--153).
Esimerkki. DY:n $y'=x$ ratkaisu on $$ y=\int y'dx = \int xdx =\frac{1}{2}x^2+C. $$ Yleisesti DY $y'=f(x)$ ratkaistaan integroimalla $$ y=\int f(x)dx=F(x)+C, $$ missä $F'(x)=f(x)$. Jotta ratkaisu sievenisi käsin laskemalla/analyyttisesti muotoon $y=F(x)+C$, niin funktion $f$ pitää olla jokin tuttu funktio, joka osataan integroida. Esimerkiksi funktioita $$ F(x)=\int e^{\sin(x)}dx,\quad G(x)\int e^{-x^2}dx $$ ei osata integroida.
Esimerkki. Antamalla edellisen esimerkin DY:lle alkuarvoehto $y(0)=1$ saadaan yksityisratkaisu. Saadaan $$ y(0)=\frac{1}{2}0^2+C=C=1. $$ Ratkaisu on siis $$ y(x)=\frac{1}{2}x^2+1. $$

VIITTEET

[1] R. A. Adams and C. Essex, Calculus: a complete course, Ninth edition, Pearson, Ontario, 2018. Sivut 68–70.